[taty]

Hola necesito que me ayuden con este ejercicio de aplicacion de integrales triples esfericas
dice:
Un recipiente esferico de 4 metros de diametro  contiene un liquido a un metro de altura.

me piden dibujar la situacion y plantear la integral

(me parece que φ esta mal, adjunto imagen)



 plantie la ecuacion: \( x^{2} \)+\( y^{2} \)+\( z^{2} \)=4

y la integral me queda asi:

[tex]\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}} \displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\displaystyle\int_{0}^{2}dρdφdθ   
     

[delmar]

Hola

Se entiende que el recipiente esta sobre el suelo y el líquido ocupa el casquete inferior de tal manera que su nivel esta 1 metro por debajo del origen de coordenadas. El dibujo creo que no muestra esa situación; más bien que el nivel del liquido esta a 1 metro del origen de coordenadas, es decir a 3 metros del suelo.

Por otro lado el elemento diferencial de volumen es incorrecto, el integral ha de revelarse de esta manera :

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{V}^{} \ r^2 \ sen(\theta)dr \ d \theta \ \ d \varphi \)


Saludos

[taty]

Cierto.. olvide lo demas de la integral
entonces los limites de phi no serian eso

[delmar]

Exacto, una alternativa es integrar primero respecto a \( \varphi \) luego respecto a \( \theta \) y finalmente respecto a r. Para establecer los límites es conveniente hacer un croquis del recipiente y del líquido.

Saludos

AGREGO

Cuando  integramos respecto a \( \varphi \)  se tiene que  r y \( \theta \) permanecen constantes. Los puntos del liquido cuyas coordenadas r y \( \theta \) permanecen constantes, constituyen en este caso, una circunferencia paralela al plano XY, en consecuencia \( 0\leq{\varphi}<2 \pi \)

Luego se integra respecto a \( \theta \) en consecuencia r permanece constante.Las circunferencias (paralelas al plano XY)  del liquido, en que r  permanece constante, constituyen en este caso, un casquete esférico, tal que \( arcos(\displaystyle\frac{-1}{r})\leq{\theta}\leq{\pi} \)

Finalmente se integra respecto a r, para fijar los límites, observa que r varía desde la distancia mas cercana del liquido  al origen; hasta la distancia mas lejana del liquido al origen