Autor Tema: Subgrupos normales

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08 Julio, 2017, 05:42 pm
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cibernarco

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Hola! Mi ejercicio es:

Demuestre que si un elemento \( a\in{G} \), satisface \( gag^{-1} = a^s \),  \( \left<{a}\right> \) es normal .

Lo que pensé yo fue que \( a^s \) es el normalizador de G por la definición.

Además como  \( a\in{G} \), es cíclico, genera todo G y tiene un solo elemento, que es a.

Entonces ¿lo que debería hallar para que sea normal de G, debería ver si se cumple la condición:  \( gag^{-1} \) esta incluido en a ?

08 Julio, 2017, 07:54 pm
Respuesta #1

MoisesOlaf

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Hola:

Por definición, para que \( \left<{a}\right> \) sea un grupo normal de \( G \), tienes que probar que para todo \( g\in{G} \), \( gag^{-1}\in{G} \). Entonces, creo que el resultado es inmediato, pues por hipótesis:

\( gag^{-1}=a^s \) y \( a^s\in{\left<{a}\right>} \)