Autor Tema: Subgrupos normales

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07 Julio, 2017, 01:50 am
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cibernarco

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Hola amigos del foro! Tengo este ejercicio que no eh podido resolver, ya leí toda la teoría pero no logro  entender como arrancar.

Sean G un grupo abeliano infinito y T la colección de todos los elementos . Demuestre que T es un .

07 Julio, 2017, 10:50 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola amigos del foro! Tengo este ejercicio que no eh podido resolver, ya leí toda la teoría pero no logro  entender como arrancar.

Sean G un grupo abeliano infinito y T la colección de todos los elementos de G de orden finito. Demuestre que T es un subgrupo normal de G.

Los elementos de \( T \) son aquellos \( \color{red}\cancel{g\in T}g\in G\color{black} \) tales que existe \( k \) natural con \( g^k=1 \).

Dado que cualquier subgrupo de un grupo abeliano es normal, lo único que tienes que ver es que es subgrupo. Eso equivale a comprobar que:

i) \( T\neq \emptyset \).
ii) \( a,b\in T\quad \Rightarrow{}\quad ab^{-1}\in T \).

Entonces:

i) \( 1\in T \).

ii) Si \( a,b\in T \) existen naturales, \( n,m \) tales que \( a^n=b^m=1 \). Calcula \( (ab^{-1})^{nm} \) y conlcuye.

Saludos.

CORREGIDO

07 Julio, 2017, 05:39 pm
Respuesta #2

cibernarco

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Muchas gracias por tu pronta respuesta, me quedo una duda, de donde sacas que :

Los elementos de \( T \) son aquellos \( g\in T \) tales que existe \( k \) natural con \( g^k=1 \).


08 Julio, 2017, 09:21 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Los elementos de \( T \) son aquellos \( g\in T \) tales que existe \( k \) natural con \( g^k=1 \).

Tenía una errata; es "... aquellos \( \color{red}g\in G\color{black} \) tales que...". Por lo demás me sorprende la duda. ¡No es más qué la definición de elemento de orden finito!. Qué un elemento \( g\in G \) tenga orden finito quiere decir que alguna potencia finita de él (el elemento operado consigo mismo un número finito de veces) da el neutro del grupo.

Saludos.

08 Julio, 2017, 03:06 pm
Respuesta #4

cibernarco

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Si, ahí entendí esa parte, la encontré en la teoría. Otra pregunta y creo ya estaría, en mi teoría me dice que si una potencia de g me da el neutro es decir, \( g^k = e \) con e = neutro. ¿Como me doy cuenta en este ejercicio que el neutro es 1 , si no me da el grupo ni la operación especifica como para poder buscarlo?

09 Julio, 2017, 04:09 pm
Respuesta #5

cibernarco

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Ya logre hacerlo!! Muchisimas gracias por tu ayuda!! saludos

10 Julio, 2017, 09:39 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Si, ahí entendí esa parte, la encontré en la teoría. Otra pregunta y creo ya estaría, en mi teoría me dice que si una potencia de g me da el neutro es decir, \( g^k = e \) con e = neutro. ¿Como me doy cuenta en este ejercicio que el neutro es 1 , si no me da el grupo ni la operación especifica como para poder buscarlo?

Simplemente yo tengo la costumbre de llamarle \( 1 \) al neutro del grupo; no es que haya que darse cuenta de nada.

Saludos.