Autor Tema: Problema de Bolzano para funciones continuas

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05 Julio, 2017, 04:04 pm
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statistic_man

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Hola, ando pensado este problema pero no logro llegar a nada concluyente:

Sea \( f: [0,1] \longrightarrow{} \mathbb{R}  \) una función continua tal que para cada \(  x \in [0,1]  \) existe un \( y \in [0,1] \) tal que \( |f(y)| \leq \frac{|f(x)|}{2}  \). Probar que existe un \( c \in [0,1]  \) tal que \( f(c)=0  \).

Mi idea es aplicar el teorema de Bolzano Weierstrass, es decir como f es continua y el dominio es un compacto la imagen de [0,1] es un compacto, y se alcanza el máximo y el mínimo, es decir, existen \( \alpha, \beta \in [0,1]  \) tal que \( f(\beta) \leq f(x) \leq f(\alpha) \forall x \in [0,1]  \).

En particular para dichos \(  \alpha, \beta \) se cumple la propiedad de la función es decir, existen \( y, y´\in [0,1]  \) tales que:


- \(  |f(y)| \leq \frac{|f(\alpha)|}{2}  \)
- \(  |f(y')| \leq \frac{|f(\beta)|}{2}  \)

Pero no logro ver ni que haya cambio de signo en f ni nada, es decir no sé como concluir. Saludos y gracias.

05 Julio, 2017, 05:12 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Sea \(  x_1  \) entonces existe \(  y_1 \in [0,1]  \) con \(  |f(y_1)| \leq \dfrac{|f(x)|}{2}  \).

Dado \( y_1 \) existirá un \(  y_2 \in [0,1]  \) con \( |f(y_2)| \leq \dfrac{|f(y_1)|}{2} \leq \dfrac{|f(x)|}{4}  \)

Dado \( y_2 \) existirá un \(  y_3 \in [0,1]  \) con \( |f(y_3)| \leq \dfrac{|f(y_2)|}{2} \leq \dfrac{|f(x)|}{8}  \)

En general existirá \( y_n  \) verificando \(  |f(y_n)| \leq \dfrac{|f(x)|}{2^n}  \)

La sucesión \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \) esta acotada entonces tiene una subsucesión convergente,mira que pasa con su límite que está en \( [0,1] \)

05 Julio, 2017, 05:40 pm
Respuesta #2

statistic_man

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Yo seguiría con que, como f es contínua y está definida en un compacto, f es acotada y tiene máximo. Sea \( M   \) el máximo de f.

Por otro lado \( \{y_n\}  \) tiene una subsucesión convegente a un \( \alpha \in [0,1]  \). Sea \( \{y_{\sigma(n)}\}  \) dicha subsucesión. Como f es contínua, \( |f(y_{\sigma(n)})|\longrightarrow{|f(\alpha)|}  \) luego:

- \( 0 \leq |f(\alpha)| \leq  \frac{|M|}{2^n} \) y por el teorema del sandwich concluimos que \( f(\alpha)\longrightarrow{0}  \) y se deduce que el valor buscado es \( \alpha \).

¿Sería así?. Gracias.

05 Julio, 2017, 07:54 pm
Respuesta #3

delmar

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Hola


Una forma, sin utilizar sucesiones,  es por reducción al absurdo. Se supone la existencia de una función f, que cumple la hipótesis; pero tal que \( NO \ \exists{c\in{[0,1]}} \ tal \ que \ f(c)=0 \) esto equivale a que \( f(x)\neq{0} \ \forall{x\in{[0,1]}} \)

Estudiando a esta función necesariamente se llega a un absurdo

La función f, no puede tomar valores positivos y negativos en su dominio, ya que por el teorema de Boltzano, necesariamente tomaría el valor cero y se llegaría a un absurdo. En consecuencia hay dos alternativas :  \( A) \ \ f(x)>0,  \ \forall{x}\in{[0,1]} \ \ \ B) \ \ f(x)<0, \ \forall{x\in{[0,1]}} \)

Considerando la  situación A)

Por ser f continua presenta un máximo M y un mínimo m.  Y necesariamente se tiene para el mínimo : \( m>0 \)

Por ser m un mínimo se tiene : \( \exists{b\in{[0,1]}} \  tal \  que \ f(b)=m \) , y por condición de la hipótesis \( \exists{y\in{[0,1]}} \ tal \ que \ 0<f(y)\leq{\displaystyle\frac{m}{2}} \), ABSURDO, ya que se tiene un elemento del rango de f menor qué su mínimo m

Considerando la situación B)

Se tiene que -f es una función que se encuentra en la situación A) y obviamente se llega también al mismo ABSURDO

Saludos

05 Julio, 2017, 10:24 pm
Respuesta #4

Juan Pablo Sancho

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- \( 0 \leq |f(\alpha)| \leq  \frac{|M|}{2^n} \) y por el teorema del sandwich concluimos que \( f(\alpha)\longrightarrow{0}  \) y se deduce que el valor buscado es \( \alpha \).

¿Sería así?. Gracias.

Es eso pero creo que  deberías usar \(  L = max(|M|,|N|)  \).

Donde \( M \) es el máximo y \( N \) el mínimo.

Por otro lado con la acotación que puse y la subsucesión \(  \{y_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \) te quedaría \(  0 \leq f(y_{k_n}) \leq \dfrac{|f(x)|}{2^{k_n}} \leq  \dfrac{|f(x)|}{2^n}  \)


12 Septiembre, 2020, 01:12 pm
Respuesta #5

Buscón

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Sea \(  x_1  \) entonces existe \(  y_1 \in [0,1]  \) con \(  |f(y_1)| \leq \dfrac{|f(x)|}{2}  \).

Dado \( y_1 \) existirá un \(  y_2 \in [0,1]  \) con \( |f(y_2)| \leq \dfrac{|f(y_1)|}{2} \leq \dfrac{|f(x)|}{4}  \)

Dado \( y_2 \) existirá un \(  y_3 \in [0,1]  \) con \( |f(y_3)| \leq \dfrac{|f(y_2)|}{2} \leq \dfrac{|f(x)|}{8}  \)

En general existirá \( y_n  \) verificando \(  |f(y_n)| \leq \dfrac{|f(x)|}{2^n}  \)

La sucesión \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \) esta acotada entonces tiene una subsucesión convergente,mira que pasa con su límite que está en \( [0,1] \)


No acabo de entenderlo. ¿Cuál es la sucesión    \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \)    y cómo sabes que está acotada? ¿Se puede extender el resultado a cualquier intervalo    \( [a,b] \)?

12 Septiembre, 2020, 01:18 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

No acabo de entenderlo. ¿Cuál es la sucesión    \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \)    y cómo sabes que está acotada?

Está acotada porque \( y_n\in [0,1] \) para todo \( n \).
¿Cuál es? Pues la que se construye inductivamente como se ha indicado antes.

Citar
¿Se puede extender el resultado a cualquier intervalo    \( [a,b] \)?

¡Claro!. Que se trabaje con el intervalo \( [0,1] \) o con otro es irrelevante.

Saludos.

12 Septiembre, 2020, 02:19 pm
Respuesta #7

Buscón

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Hola

No acabo de entenderlo. ¿Cuál es la sucesión    \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \)    y cómo sabes que está acotada?

Está acotada porque \( y_n\in [0,1] \) para todo \( n \).
¿Cuál es? Pues la que se construye inductivamente como se ha indicado antes.

Citar
¿Se puede extender el resultado a cualquier intervalo    \( [a,b] \)?

¡Claro!. Que se trabaje con el intervalo \( [0,1] \) o con otro es irrelevante.

Saludos.

¿Y cómo prueba lo que se pide el hecho de que    \( y_n \)    converja, (a cero en este caso)?

12 Septiembre, 2020, 02:42 pm
Respuesta #8

Juan Pablo Sancho

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Pero \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) no tiene por que converger, pero si que lo hace una subsucesión suya, \( \{y_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}\  \)
Si \( \displaystyle \sigma = \lim_{n \to +\infty} y_{k_n}  \) tienes que \( f(\sigma) = 0  \)

12 Septiembre, 2020, 03:50 pm
Respuesta #9

Buscón

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Pero \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) no tiene por que converger, pero si que lo hace una subsucesión suya, \( \{y_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}\  \)
Si \( \displaystyle \sigma = \lim_{n \to +\infty} y_{k_n}  \) tienes que \( f(\sigma) = 0  \)

No veo porqué debe ser    \( f(\rho)=0 \)    si    \( \rho=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{y_{k_n}} \)    para cualquier función     \( f: [0,1] \longrightarrow{} \mathbb{R} \)    continua verificancando que    \( |f(y)| \leq \dfrac{|f(x)|}{2} \)   

12 Septiembre, 2020, 05:57 pm
Respuesta #10

Juan Pablo Sancho

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Editado
Por que \( \displaystyle |f(y_{k_n})| \leq \dfrac{|f(x)|}{\color{red}2^{k_n}\color{black}}  \)

12 Septiembre, 2020, 06:37 pm
Respuesta #11

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Por que \( \displaystyle |f(y_{k_n})| \leq \dfrac{|f(x)|}{\color{red}2^{k_n}}  \)

Eso es lo que pregunté. Sigo sin ver que ello implique que la función se anule en un punto    \( c\in{[0,1]} \).    Eso será cierto si    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{\big|f(x)\big|}{2^n}}=0 \)    pero a priori no se sabe.   

12 Septiembre, 2020, 06:53 pm
Respuesta #12

Juan Pablo Sancho

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¿No sabes que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x)|}{2^{k_n}} =  0  \) ?

12 Septiembre, 2020, 07:08 pm
Respuesta #13

Buscón

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¿No sabes que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x)|}{2^{k_n}} =  0  \) ?

No, ese límite depende de cual sea la función    \( f \)    y de la tendencia de    \( x \). Y en este caso no se sabe. ¿Me equivoco mucho?

12 Septiembre, 2020, 07:37 pm
Respuesta #14

Juan Pablo Sancho

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Tienes que \( |f(x)| = C  \) una constante , el límite es cero.

12 Septiembre, 2020, 08:01 pm
Respuesta #15

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Tienes que \( |f(x)| = C  \) una constante , el límite es cero.

 :laugh: :laugh: :laugh:

Ah, vale. Muchas gracias. No pienso apuntarlo si no lo justificas.

Lo mismo que en el hilo semjeante. Se trata de

Sea \( f: [0,1] \longrightarrow{} \mathbb{R}  \) una función continua tal que para cada \(  x \in [0,1]  \) existe un \( y \in [0,1] \) tal que \( |f(y)| \leq \frac{|f(x)|}{2}  \). Probar que existe un \( c \in [0,1]  \) tal que \( f(c)=0  \).

¿Podemos empezar desde el principio sin mezclar hilos?

12 Septiembre, 2020, 10:52 pm
Respuesta #16

Luis Fuentes

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Sea \( f: [0,1] \longrightarrow{} \mathbb{R}  \) una función continua tal que para cada \(  x \in [0,1]  \) existe un \( y \in [0,1] \) tal que \( |f(y)| \leq \frac{|f(x)|}{2}  \). Probar que existe un \( c \in [0,1]  \) tal que \( f(c)=0  \).

¿Podemos empezar desde el principio sin mezclar hilos?

¿Pero no ves que es exactamente el mismo problema que el otro cambiando un número? Las ideas son exactamente las mismas, sin matiz alguno que las diferencie. No tiene sentido que te repitamos lo mismo en los dos hilos. Es más es poco didáctico. Si finalmente entiendes uno de ellos, entenderás el otro. Si necesitas esta duplicidad es que no entiendes lo explicado; entonces céntrate en uno sólo. Después trasladar lo mismo al otro es inmediato.

Saludos.

13 Septiembre, 2020, 12:42 am
Respuesta #17

Buscón

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Hola

Sea \( f: [0,1] \longrightarrow{} \mathbb{R}  \) una función continua tal que para cada \(  x \in [0,1]  \) existe un \( y \in [0,1] \) tal que \( |f(y)| \leq \frac{|f(x)|}{2}  \). Probar que existe un \( c \in [0,1]  \) tal que \( f(c)=0  \).

¿Podemos empezar desde el principio sin mezclar hilos?

¿Pero no ves que es exactamente el mismo problema que el otro cambiando un número? Las ideas son exactamente las mismas, sin matiz alguno que las diferencie. No tiene sentido que te repitamos lo mismo en los dos hilos. Es más es poco didáctico. Si finalmente entiendes uno de ellos, entenderás el otro. Si necesitas esta duplicidad es que no entiendes lo explicado; entonces céntrate en uno sólo. Después trasladar lo mismo al otro es inmediato.

Saludos.

Pues la verdad hay cosas que no entiendo. Como por ejemplo esta.

Tienes que \( |f(x)| = C  \) una constante , el límite es cero.

¿Sabrías explicármela?

13 Septiembre, 2020, 11:36 am
Respuesta #18

Luis Fuentes

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Hola

¿Pero no ves que es exactamente el mismo problema que el otro cambiando un número? Las ideas son exactamente las mismas, sin matiz alguno que las diferencie. No tiene sentido que te repitamos lo mismo en los dos hilos. Es más es poco didáctico. Si finalmente entiendes uno de ellos, entenderás el otro. Si necesitas esta duplicidad es que no entiendes lo explicado; entonces céntrate en uno sólo. Después trasladar lo mismo al otro es inmediato.

Pues la verdad hay cosas que no entiendo. Como por ejemplo esta.

Me pregunto porqué a mi observación de que ambos hilos son exactamente el mismo problema, me respondes diciendo que "hay cosas que no entiendo" y con una duda sobre este desarrollo.

Si estás de acuerdo en que son el mismo problema: céntrate ya en uno de los hilos; sino, discútelo; indica que diferencias esenciales ves. Es lo que te hablaba de centrar el debate. De fijar las cuestiones. De no divagar.

Citar
Tienes que \( |f(x)| = C  \) una constante , el límite es cero.

¿Sabrías explicármela?

Pues:

1) La demostración comienza eligiendo un \( x \) que es FIJO a lo largo de toda la demostración. Por tanto \( |f(x)|=C \) es un valor FIJO a lo largo de toda la demostración: UNA CONSTANTE.

2) Entonces el \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{|f(x)|}{2^{k_n}} \) es cero porque es el límite del cociente de  una constante con una sucesión que tiende a infinito.

Saludos.

13 Septiembre, 2020, 12:53 pm
Respuesta #19

Buscón

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¿Por el otro hilo mejor? Es más general en    \( [a,b] \)    que en    \( [0,1] \).

Gracias