Hola
Hola.
En el libro Walter Rudin https://59clc.files.wordpress.com/2012/08/functional-analysis-_-rudin-2th.pdf pàgina 100, teorema 4.13
aa parte b) entonces c),¿ por qué puede suponer que \( \delta=1 \) y por qué para cada \( y\in{Y} \)y \( \epsilon>0 \) existe un \( x\in{X} \) tal que \( \left\|{x}\right\|\leq{ \left\|{y}\right\|} \) y \( \left\|{y-Tx}\right\|<\epsilon \) ?
Ten en cuenta que la aplicación \( p:Y\longrightarrow{}Y \), \( p(y)=\delta y \), es un homemomorfismo. Entonces si consideras \( T'=p\circ T=\delta T \) se tiene que:
\( T'(U)\subset \delta V\quad \Leftrightarrow{}\quad \delta T(U)\subset \delta V\quad \Leftrightarrow{}\quad T(U)\subset V \)
\( \overline{T'(U)}\subset \delta V\quad \Leftrightarrow{}\quad \overline{\delta T(U)}\subset \delta V\quad \Leftrightarrow{}\quad \delta\overline{ T(U)}\subset \delta V\quad \Leftrightarrow{}\quad \overline{T(U)}\subset V \)
Por eso se puede considerar \( \delta=1 \).
Por otra parte si \( \bar V\subset \overline {T(U)} \), dado \( y\in V \), \( y\neq 0 \) se tiene que \( y/\|y\|\in \bar V \). Entonces dado \( \epsilon'>0 \) existe \( y'\in T(U) \) tal que:
\( \|y/\|y\|-y'\|<\epsilon' \)
\( \|y-\|y\|y'\|<\|y\|\epsilon' \)
Como \( y'\in T(U) \), se tiene que \( y'=T(x') \) con \( \|x'\|<1 \). Entonces:
\( \|\|y\|x'\|<\|y\| \)
Llamando \( x=\|y\|x' \) te queda que \( \|x\|<\|y\| \) e \( \|y-x\|<\|y\|\epsilon'. \)
Finalmente dado \( \epsilon>0 \) aplica lo anterior para \( \epsilon'=\epsilon/\|y\| \).
Saludos.
