Autor Tema: ¿cuál es el procedimiento a este problema de probabilidad? (Contiene combinatori

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14 Junio, 2017, 07:07 am
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Danielmontecel

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Enunciado: Si se lanzan dos dados, cuál es la probabilidad de que salga 6 en cada uno de ellos.
Respuesta: \( \dfrac{1}{36} \)

Inquietud:
Ya he buscado en internet y todas las páginas me plantean una probabilidad de eventos simultáneos, por lo tanto si la probabilidad de obtener un \( 6 \) en un dado es \( \dfrac{1}{36} \); la probabilidad en dos dados es \( (\dfrac{1}{6})\cdot{} (\dfrac{1}{6}) = \dfrac{1}{36} \)

Sin embargo, antes de conocer dicho procedimiento, mi razonamiento fue el siguiente: como probabilidad es (casos favorables/casos totales) mi tarea era buscar los casos totales que se pueden dar entre dos dados utilizando la combinación. De esta manera utilicé la fórmula de combinatoria con repetición para saber de cuántas maneras pueden salir los dados sin tener en cuenta el orden. Esta fórmula es :

\( \displaystyle\frac{(m+n-1)!}{n!(m-1)!}\;\;\;(m=6\;\;n=2) \)

Aplicándola, la respuesta me salió 21. De manera que, hay 21 combinaciones entre dos dados lanzados al mismo tiempo. Si se utiliza la fórmula de Combinatoria (6 elementos se agrupan de 2 en 2), resultan 15 combinaciones y a eso se le suman las 6 combinaciones con repetición ( 1,1-2,2-3,3-4,4-5,5-6,6) dando también 21. Inclusive si se lo hace manual, también encontramos 21 casos diferentes que dos dados pueden mostrar.

Por lo tanto, para mí, la respuesta al problema fue \( \dfrac{1}{21} \).
Entonces me gustaría poder entender por qué mi procedimiento no es el correcto.

Corregido el \( \LaTeX \) por la moderación.

14 Junio, 2017, 09:56 am
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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Enunciado: Si se lanzan dos dados, cuál es la probabilidad de que salga 6 en cada uno de ellos.
Respuesta: 1/36

Inquietud:
Ya he buscado en internet y todas las páginas me plantean una probabilidad de eventos simultáneos, por lo tanto si la probabilidad de obtener un 6 en un dado es 1/6; la probabilidad en dos dados es (1/6) • (1/6) = 1/36

Sin embargo, antes de conocer dicho procedimiento, mi razonamiento fue el siguiente: como probabilidad es (casos favorables/casos totales) mi tarea era buscar los casos totales que se pueden dar entre dos dados utilizando la combinación. De esta manera utilicé la fórmula de combinatoria con repetición para saber de cuántas maneras pueden salir los dados sin tener en cuenta el orden. Esta fórmula es :


Es que la regla de Laplace (casos favorables / casos posibles) solo se aplica cuando los casos son equiprobables, como obtener una cualquiera de las seis caras al lanzar un dado. Pero al lanzar dos dados, no es equiprobable sacar dos seises que un cinco y un seis, por ejemplo. Lo primero sucede de una única forma: sacando un 6 en el dado A y otro 6 en el dado B, da igual si la tirada es simultánea de dos dados o de un mismo dado dos veces. En cambio la de sacar un 5 y un 6 puede darse de dos formas, sacando el 5 en el dado A y el 6 en el B, o al revés.

Lo que es equiprobable es el resultado de cada lado, y el resultado de uno es independiente del resultado del otro. Si ha salido un seis en el primero, es igual de probable que salga un seis o un cinco en el segundo. Lo mismo ocurre si sale un 5 en el primero, es igual de probable que salga un cinco o un seis en el segundo. Pero de estas cuatro posibilidades que hemos considerado, en las que solo salen cincos o seises, hay dos formas de obtener un 5 y un 6, y una sola de obtener dos seises.

Por tanto, la forma correcta de aplicar la regla de Laplace es contando los casos posibles como Variaciones con repetición, en este caso de seis elementos tomados de dos en dos, que son \( 6^2 = 36 \).

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

14 Junio, 2017, 10:02 am
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

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Olvide darte la bienvenida, Danielmontecel, y recordarte que en el foro las fórmulas deben escribirse con \( \LaTeX \) como se explica en este mensaje: En este foro hay que escribir las expresiones matemáticas usando \( \LaTeX \)

Recuerdalo para futuras ocasiones,

Saludos
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
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14 Junio, 2017, 04:31 pm
Respuesta #3

Danielmontecel

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Es que la regla de Laplace (casos favorables / casos posibles) solo se aplica cuando los casos son equiprobables, como obtener una cualquiera de las seis caras al lanzar un dado. Pero al lanzar dos dados, no es equiprobable sacar dos seises que un cinco y un seis, por ejemplo. Lo primero sucede de una única forma: sacando un 6 en el dado A y otro 6 en el dado B, da igual si la tirada es simultánea de dos dados o de un mismo dado dos veces. En cambio la de sacar un 5 y un 6 puede darse de dos formas, sacando el 5 en el dado A y el 6 en el B, o al revés.

Lo que es equiprobable es el resultado de cada lado, y el resultado de uno es independiente del resultado del otro. Si ha salido un seis en el primero, es igual de probable que salga un seis o un cinco en el segundo. Lo mismo ocurre si sale un 5 en el primero, es igual de probable que salga un cinco o un seis en el segundo. Pero de estas cuatro posibilidades que hemos considerado, en las que solo salen cincos o seises, hay dos formas de obtener un 5 y un 6, y una sola de obtener dos seises.

Por tanto, la forma correcta de aplicar la regla de Laplace es contando los casos posibles como Variaciones con repetición, en este caso de seis elementos tomados de dos en dos, que son \( 6^2 = 36 \).

Saludos,

Entonces debería interpretarlo como si en las combinaciones sin repetición (5,6-6,5-3,2...) el orden importa y en las combinaciones con repetición no; para este caso. De manera que, aparte de la variación con repetición, puedo formar una permutación 6 de 2 que me daría 30 combinaciones "diferentes" y se agregan las 6 combinaciones con repetición.

Gracias por la ayuda, :)