Autor Tema: Probar identidad de una integral

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10 Junio, 2017, 12:54 am
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mapa

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Hola! Tengo un ejercicio donde me piden demostrar que \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{x^{a-1}}{1+x}dx=\displaystyle\frac{\pi}{sin (a \pi)}  \) donde 0 <a<1

Realmente las integrales me están causando muchas dificultades,  estaba consultando varios libros y en uno de ellos encontré un ejercicio donde la función a integrar es de la forma \( x^k g (x) \) y la sugerencia es considerar la integral de contorno \( \displaystyle\int_{C}z^k g(z) dz \) donde el contorno C es como el que muestro en la figura.  Creo que en este caso tendrá sentido considerar el mismo contorno puesto que el integrando de mi caso no tiene polos en z=0 ni en la parte positiva del eje real; pero sinceramente no he podido aterrizar dichas ideas. Comenzando desde la manera de dividir la trayectoria para calcular las correspondientes integrales y sumarlas. Espero me puedan ayudar,  cualquier aportación se los agradeceré.

10 Junio, 2017, 05:28 am
Respuesta #1

Abdulai

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La resolución de esa integral es un ejemplo en el libro de R.V. Churchill "Variables complejas y sus aplicaciones"  pag. 216 "75-Integración alrededor de un punto ramal". Obviamente, eso en la edición en papel que tengo en la mano.

Comentario: Me estoy yendo a dormir.

10 Junio, 2017, 12:51 pm
Respuesta #2

mapa

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Gracias por la información! Acabo de observar que no adjunté la imagen!   :banghead:  una disculpa porque estoy en las nubes!  Muchas gracias!