Hola! Tengo un ejercicio donde me piden demostrar que \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{x^{a-1}}{1+x}dx=\displaystyle\frac{\pi}{sin (a \pi)} \) donde 0 <a<1
Realmente las integrales me están causando muchas dificultades, estaba consultando varios libros y en uno de ellos encontré un ejercicio donde la función a integrar es de la forma \( x^k g (x) \) y la sugerencia es considerar la integral de contorno \( \displaystyle\int_{C}z^k g(z) dz \) donde el contorno C es como el que muestro en la figura. Creo que en este caso tendrá sentido considerar el mismo contorno puesto que el integrando de mi caso no tiene polos en z=0 ni en la parte positiva del eje real; pero sinceramente no he podido aterrizar dichas ideas. Comenzando desde la manera de dividir la trayectoria para calcular las correspondientes integrales y sumarlas. Espero me puedan ayudar, cualquier aportación se los agradeceré.
