Es cierto ilarrosa, me he equivocado de nuevo. Considerando esa función obtuve que el residuo de f en 1+3i es \( (1+3i) \displaystyle\frac{e^{-3+i}}{6i} \) Si llamo C al contorno (digamos que tiene forma de media luna con radio R) entonces por el teorema del residuo sé que \( \displaystyle\int_{C} f (z) dz=2 \pi i(1+3i) \displaystyle\frac{e^{-3+i}}{6i} \) Ahora quisiera escribir dicha integral sobre C como la suma de dos integrales una que se integra desde -R hasta R y otra que se integra sobre la semicircunferencia de radio R. Mi intención es a ésta última aplicarle el Lema de Jordan (Dada una familia de arcos circulares donde
\( \gamma_R={|z|=R} \) \( Im (z)\geq{a} \) con a real fijo si g(z) es continua en estos arcos circulares y \( \displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}{máx|f(z)|=0} \) entonces \( \displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}{\displaystyle\int_{\gamma_R}g(z)e^{iaz}}=0 \) donde a>0) de manera que cuando R tiende a infinito la integral vale cero; pero no me queda tan claro si en verdad podría aplicar ese resultado. Tomando en cuenta que en este caso \( g(z)=\displaystyle\frac{z}{z^2-2z+10} \) y a=1 deberé acotar esta función por una expresión que dependa de R y que tienda a cero cuando R tiende a infinito; pero no estoy segura de cuál expresión me funciona. Me podrían apoyar para verificar que se cumplen las condiciones del Lema de Jordan por favor? ...
Tienes que
\( \left |{g(z)}\right |=\left |{\displaystyle\frac{z}{z^2-2z+10}}\right |= \left |{\displaystyle\frac{1}{z}}\right | \left |{\displaystyle\frac{1}{1-2/z+10/z^2}}\right | \)
Tienes que el límite de la segunda fracción es \( 1\textrm{ cuando }z\rightarrow{}\infty \), por lo que su valor absoluto estará acotado por cualquier \( M > 1\textrm{ para valores de }R = \left |{z}\right | \) suficientemente grandes y \( \left |{g(z)}\right | <\displaystyle\frac{M}{R} \). Entonces, aplicando el lema de Jordan,
\( \left |{\displaystyle\int_{\gamma_R}g(z)e^{iz}\,dz}\right |\leq{} \displaystyle\frac{M}{R}\left |{\displaystyle\int_{\gamma_R}e^{iz}\,dz}\right |\leq{\displaystyle\frac{M\pi}{R}} \)
esta integral en la parte semicircular se anula cuando \( R\rightarrow{}\infty \) y
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{ze^{iz}}{z^2 -2z + 10} dz=2 \pi i(1+3i) \displaystyle\frac{e^{-3+i}}{6i}= \pi (1+3i) \displaystyle\frac{e^{-3+i}}{3} \)
Y la integral que te pedían es la parte real:
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{x \cos(x)}{x^2 -2x + 10}dx = Re\left(\pi (1+3i) \displaystyle\frac{e^{-3}(\cos(1)+i\sen(1)}{3} \right)= \displaystyle\frac{\pi}{3e^3}(\cos(1)
- 3\sen(1))\approx{}-0.103445 \)
Saludos,