Autor Tema: Evaluar integral

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10 Junio, 2017, 12:14 am
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mapa

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Buen día!  Necesito evaluar la integral \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{xcos (x)}{x^2-2x+10} \)

Lo que he intentado es lo siguiente:
Primero noto que el integrando es la parte real de la función \( f(z)=\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2-2z+10}  \) de manera que quiero calcular la integral \( I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(z)dz \) para aplicar el teorema del residuo  me fijo en los polos de f situados en el semiplano superior,  el cual es el polo simple 1+3i
Tendría \( I=2\pi i Res (f) \) donde \( Res (f)=\displaystyle\lim_{z \to 1+3i}{f(z)} \) pero el denominador se hace cero. Y es ahí donde está mi problema. Por otra parte pensaba usar el lema de Jordan;  pero no he logrado avanzar mas. Espero puedan ayudarme con este ejercicio.

10 Junio, 2017, 12:30 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Editado

El spoiler es una metedura de pata barbara.

Justamente si se esta en variable compleja el denominador se puede hacer cero.

Spoiler
El denominador es \(  x^2-2 \cdot x + 10 = (x-1)^2 +9 \geq 9  \) nunca es es cero.

De variable compleja no sé nada de nada espera a otra mirada si lo que he puesto no está bien.
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10 Junio, 2017, 04:32 am
Respuesta #2

Abdulai

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....
Tendría \( I=2\pi i Res (f) \) donde \( Res (f)=\displaystyle\lim_{z \to 1+3i}{f(z)} \) pero el denominador se hace cero. Y es ahí donde está mi problema....

Pero eso no es el residuo.

\( Res(f,z_0)=\displaystyle\lim_{z\to z_0} (z-z_0)f(z) \)

10 Junio, 2017, 12:39 pm
Respuesta #3

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....
Tendría \( I=2\pi i Res (f) \) donde \( Res (f)=\displaystyle\lim_{z \to 1+3i}{f(z)} \) pero el denominador se hace cero. Y es ahí donde está mi problema....

Pero eso no es el residuo.

\( Res(f,z_0)=\displaystyle\lim_{z\to z_0} (z-z_0)f(z) \)
:banghead: según yo había revisado varias veces para ver si mi procedimiento estaba mal o mis cuentas y no sé por qué razón no me di cuenta de ese error.  Al final si ha sido "una metedura de pata bárbara" de mi parte.  Gracias por hacérmelo notar, trataré de avanzar y espero no equivocarme de nuevo en algo tan básico... Gracias!

10 Junio, 2017, 01:16 pm
Respuesta #4

Ignacio Larrosa

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Buen día!  Necesito evaluar la integral \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{xcos (x)}{x^2-2x+10} \)

Lo que he intentado es lo siguiente:
Primero noto que el integrando es la parte real de la función \( f(z)=\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2-2z+10}  \) de manera que quiero calcular la integral \( I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(z)dz \) para aplicar el teorema del residuo  me fijo en los polos de f situados en el semiplano superior,  el cual es el polo simple 1+3i
Tendría \( I=2\pi i Res (f) \) donde \( Res (f)=\displaystyle\lim_{z \to 1+3i}{f(z)} \) pero el denominador se hace cero. Y es ahí donde está mi problema. Por otra parte pensaba usar el lema de Jordan;  pero no he logrado avanzar mas. Espero puedan ayudarme con este ejercicio.

Pero el integrando es la parte real de la restricción al eje real de \( f(z)=\displaystyle\frac{z e^{iz}}{z^2-2z+10}  \).

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

11 Junio, 2017, 04:40 am
Respuesta #5

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Es cierto ilarrosa,  me he equivocado de nuevo.  Considerando esa función obtuve que el residuo de f en 1+3i es \( (1+3i) \displaystyle\frac{e^{-3+i}}{6i} \) Si llamo C al contorno (digamos que tiene forma de media luna con radio R) entonces por el teorema del residuo sé que \( \displaystyle\int_{C} f (z) dz=2 \pi i(1+3i) \displaystyle\frac{e^{-3+i}}{6i}  \) Ahora quisiera escribir dicha integral sobre C como la suma de dos integrales una que se integra desde -R hasta R y otra que se integra sobre la semicircunferencia de radio R. Mi intención es a ésta última aplicarle el Lema de Jordan (Dada una familia de arcos circulares donde
 \( \gamma_R={|z|=R}  \)   \( Im (z)\geq{a} \) con a real fijo si g(z) es continua en estos arcos circulares y \( \displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}{máx|f(z)|=0} \) entonces \( \displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}{\displaystyle\int_{\gamma_R}g(z)e^{iaz}}=0 \) donde a>0) de manera que cuando R tiende a infinito la integral vale cero; pero no me queda tan claro si en verdad podría aplicar ese resultado. Tomando en cuenta que en este caso \( g(z)=\displaystyle\frac{z}{z^2-2z+10} \) y a=1 deberé acotar esta función por una expresión que dependa de R y que tienda a cero cuando R tiende a infinito; pero no estoy segura de cuál expresión me funciona.  Me podrían apoyar para verificar que se cumplen las condiciones del Lema de Jordan por favor? ...

11 Junio, 2017, 12:19 pm
Respuesta #6

Ignacio Larrosa

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Es cierto ilarrosa,  me he equivocado de nuevo.  Considerando esa función obtuve que el residuo de f en 1+3i es \( (1+3i) \displaystyle\frac{e^{-3+i}}{6i} \) Si llamo C al contorno (digamos que tiene forma de media luna con radio R) entonces por el teorema del residuo sé que \( \displaystyle\int_{C} f (z) dz=2 \pi i(1+3i) \displaystyle\frac{e^{-3+i}}{6i}  \) Ahora quisiera escribir dicha integral sobre C como la suma de dos integrales una que se integra desde -R hasta R y otra que se integra sobre la semicircunferencia de radio R. Mi intención es a ésta última aplicarle el Lema de Jordan (Dada una familia de arcos circulares donde
 \( \gamma_R={|z|=R}  \)   \( Im (z)\geq{a} \) con a real fijo si g(z) es continua en estos arcos circulares y \( \displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}{máx|f(z)|=0} \) entonces \( \displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}{\displaystyle\int_{\gamma_R}g(z)e^{iaz}}=0 \) donde a>0) de manera que cuando R tiende a infinito la integral vale cero; pero no me queda tan claro si en verdad podría aplicar ese resultado. Tomando en cuenta que en este caso \( g(z)=\displaystyle\frac{z}{z^2-2z+10} \) y a=1 deberé acotar esta función por una expresión que dependa de R y que tienda a cero cuando R tiende a infinito; pero no estoy segura de cuál expresión me funciona.  Me podrían apoyar para verificar que se cumplen las condiciones del Lema de Jordan por favor? ...

Tienes que

 \( \left |{g(z)}\right |=\left |{\displaystyle\frac{z}{z^2-2z+10}}\right |= \left |{\displaystyle\frac{1}{z}}\right | \left |{\displaystyle\frac{1}{1-2/z+10/z^2}}\right | \)

Tienes que el límite de la segunda fracción es \( 1\textrm{ cuando }z\rightarrow{}\infty \), por lo que su valor absoluto estará acotado por cualquier \( M > 1\textrm{ para valores de }R = \left |{z}\right |  \) suficientemente grandes y  \( \left |{g(z)}\right | <\displaystyle\frac{M}{R} \). Entonces, aplicando el lema de Jordan,

\( \left |{\displaystyle\int_{\gamma_R}g(z)e^{iz}\,dz}\right |\leq{} \displaystyle\frac{M}{R}\left |{\displaystyle\int_{\gamma_R}e^{iz}\,dz}\right |\leq{\displaystyle\frac{M\pi}{R}} \)

esta integral en la parte semicircular se anula cuando \( R\rightarrow{}\infty \) y

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{ze^{iz}}{z^2 -2z + 10} dz=2 \pi i(1+3i) \displaystyle\frac{e^{-3+i}}{6i}=  \pi (1+3i) \displaystyle\frac{e^{-3+i}}{3}  \)

Y la integral que te pedían es la parte real:

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{x \cos(x)}{x^2 -2x + 10}dx = Re\left(\pi (1+3i) \displaystyle\frac{e^{-3}(\cos(1)+i\sen(1)}{3} \right)= \displaystyle\frac{\pi}{3e^3}(\cos(1)
 - 3\sen(1))\approx{}-0.103445 \)


Saludos,

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

11 Junio, 2017, 05:16 pm
Respuesta #7

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Ya comprendo, les agradezco mucho sus aportaciones!