Autor Tema: Probar que una función C1 con un solo punto singular es abierta

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05 Junio, 2017, 07:04 pm
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javier m

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Hola, estoy liado con este problema que no veo como resolver, se trata de una función \( f:U \subseteq{} \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m  \) con \( m>1 \), \( f \in \mathcal{C}_1 \) y un punto \( a \in U \) que es el único punto singular de \( f \) (esto es, \( D_{f(a)} \) tiene determinante 0). Lo que tengo que ver es que \( f \) es abierta.

Yo sé que si un abierto \( V \) no tiene puntos singulares, entonces \( f[V] \) es abierto (por un lema que precede al teorema de la función inversa). Entonces, creo que tendría que ver que \( f(a) \in f[U \setminus \{a\}]  \), y con esto concluiría que \( f(U)=f[U \setminus \{a\}] \) es abierto, pero no veo cómo hacer esto.

Alguien puede darme una mano?

05 Junio, 2017, 07:50 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola, estoy liado con este problema que no veo como resolver, se trata de una función \( f:U \subseteq{} \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m  \) con \( m>1 \), \( f \in \mathcal{C}_1 \) y un punto \( a \in U \) que es el único punto singular de \( f \) (esto es, \( D_{f(a)} \) tiene determinante 0). Lo que tengo que ver es que \( f \) es abierta.

Yo sé que si un abierto \( V \) no tiene puntos singulares, entonces \( f[V] \) es abierto (por un lema que precede al teorema de la función inversa). Entonces, creo que tendría que ver que \( f(a) \in f[U \setminus \{a\}]  \), y con esto concluiría que \( f(U)=f[U \setminus \{a\}] \) es abierto, pero no veo cómo hacer esto.

Alguien puede darme una mano?

Mira por aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/2092954/this-function-must-be-open-if-these-points-are-isolated/2097983

Saludos.

06 Junio, 2017, 02:12 am
Respuesta #2

javier m

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