Autor Tema: El incentro

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19 Mayo, 2017, 09:37 am
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Michel

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Dado un triángulo ABC, hallar la relación en que el incentro I divide a la bisectriz del ángulo B.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

27 Mayo, 2017, 07:56 pm
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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Por el teorema de la bisectriz sabemos que las bisectrices interiores dividen a los lados en segmentos proporcionales a los lados adyacentes. Entonces sean los vértices como de costumbre\(  (A, B, C) \) y los lados opuestos respectivamente \( (a, b, c) \). Y (D, E, F) los puntos en que las bisectrices cortan al lado opuesto.

Entonces colocando en los vértices masas proporcionales a los lados opuestos, tendremos que el centro de masas de A y C estará situado en \( E \), el de \( A + B \) en \( F \) y el de \( B + C \) en \( D \). El centro de gravedad de los tres debe estar en las tres bisectrices y será por tanto el incentro.

Entonces podemos suponer las masas de A y C situadas en E, con un valor de \( a + c \). En \( B \) tenemos una masa de valor \( b \), luego el centro de gravedad \( I \) será tal que \( \overline{BI}\cdot{}b=\overline{IE}(a+c) \), es decir,

\( \displaystyle\frac{\overline{IE}}{\overline{BI}}=\displaystyle\frac{b}{a+c} \)

y de forma similar para las otras bisectices:

\( \displaystyle\frac{\overline{ID}}{\overline{AI}}=\displaystyle\frac{a}{b+c} \)

\( \displaystyle\frac{\overline{IF}}{\overline{CI}}=\displaystyle\frac{c}{a+b} \)

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

30 Mayo, 2017, 12:06 pm
Respuesta #2

Michel

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Aplicando el teorema de la bisectriz

- al triángulo ABB': IB/IB'=AB/AB'

- al triángulo BCB': IB/IB'=BC/B'C

Igualando ambas expresiones, la relación pedida vale :

AB/AB'=BC/BC'=(AB+BC)/(AB'+B'C)=(AB'+BC)/AC

Suma de los lados que forman el ángulo B / lado opuesto al B.






Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker