[FMCh]

Buen día.

Necesito saber, cómo podría resolver este ejercicio, estoy confundido:

Si \(  X_k \sim{U(0,2)} \) (Variables aleatoria independientes) para k=1, 2,...,n. Cálcular la probabilidad  de \( P(Y_1<1/2<Y_n) \) donde \(  Y_1 \) es el mínimo y \( Y_n \) es el máximo de la distribución dada.

Les agradezco sus colaboraciones.

Saludos,

[EnRlquE]

Hola FMCh.

 Imagino que te refieres a que \( Y_{1}=\min\{X_{k}:\,1\leq k\leq n\} \) y \( Y_{n}=\max\{X_{k}:\,1\leq k\leq n\}. \) Si este fuera el caso nota que

\( P[Y_{1}<1/2<Y_{n}]=1-P[\{Y_{1}\geq 1/2\}\cup\{Y_{n}\leq1/2\}]. \)

 Los eventos \( \{Y_{1}\geq 1/2\} \) y \( \{Y_{n}\leq1/2\} \) son "casi disjuntos", pues su intersección \( \{X_{1}=\dots=X_{n}=1/2\} \) tiene probabilidad nula. Luego

\begin{align*}P[\{Y_{1}\geq 1/2\}\cup\{Y_{n}\leq1/2\}]&=P[\{Y_{1}\geq 1/2\}]+P[\{Y_{n}\leq1/2\}]\\
&=P[X_{k}\geq1/2,\;\forall k\in\{1,\dots,n\}]+P[X_{k}\leq 1/2,\;\forall k\in\{1,\dots,n\}].\end{align*}

A partir de aquí trata de terminar y si tienes dificultades, pregunta.

Saludos,

Enrique.

[FMCh]

Gracias por el aporte, sin embargo, ¿a dónde debería llegar? ¿Algo en términos de n? Me podrías orientar en esa parte.
Saludos,

[EnRlquE]

Exacto, ¿sabes cómo calcular las probabilidades de la última de las desigualdades que escribí? Trata de convencerte de que

\( \displaystyle P[X_{k}\geq1/2,\;\forall k\in\{1,\dots,n\}]=\prod_{k=1}^{n}P[X_{k}\geq 1/2]=(P[X_{1}\geq 1/2])^{n}=(3/4)^{n}, \)

si es que \( U(0,2) \) hace referencia a la distribución uniforme en el intervalo \( (0,2). \) Algo similar ocurre con \( P[X_{k}\leq1/2,\;\forall k\in\{1,\dots,n\}]. \)

Saludos.

[FMCh]

Es decir que eso indicaría que la probabilidad  \(  P(X_k\leq{1/2})  \) daría \( 1-(3/4)^n \) ¿O no sería correcto este resultado?

[Luis Fuentes]

Hola

Es decir que eso indicaría que la probabilidad  \(  P(X_k\leq{1/2})  \) daría \( 1-(3/4)^n \) ¿O no sería correcto este resultado?

No. \( P(X_k\leq 1/2)=1/4 \) (ten en cuenta que \( X_k \) es uniforme en \( [0,2] \)). Y:

\( \displaystyle\prod_{k=1}^{n}P[X_{k}\leq 1/2]=(1/4)^n \)

Saludos.