[irenesevillana]

Hola, me podéis ayudar en este problema. Os lo agradeciera
Sea \( {X_n} \) una sucesión de vv.aa. i.i.d., tal que  \( E(|{X_1}^p|)<\infty \) ,con \( m_p =E({X_1}^p) \).Probar que
\( \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{X_n^p}\xrightarrow{\;\; c.s{} \;\; }m_p \)

Lo único que se me ocurre es un teorema que dice que si la media es nula , la varianza finita y si \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\sigma_i}<\infty  \)  entonces \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i} \) es convergente casi segura pero por las hipótesis del problema no tenemos que la media es nula...luego no lo podemos aplicar!!!
Cualquier sugerencia me vendría bien .
Un saludo

[EnRlquE]

Hola irenesevillana.

 Se trata de una aplicación de la ley de grandes números a las variables \( Y_{n}:=X_{n}^{p}. \) De las hipótesis se deduce que \( (Y_{n})_{n\geq1} \) es una sucesión de variables aleatorias i.i.d. con esperanza \( \mathbb{E}[Y_{n}]=\mathbb{E}[X_{n}^{p}]=\mathbb{E}[X_{1}^{p}]=m_{p}. \)

 Luego por la ley de grandes números tenemos que \( \frac{1}{n}(Y_{1}+\dots+Y_{n}) \) converge a \( m_{p} \) casi ciertamente.

Saludos,

Enrique.

[irenesevillana]

Muchas gracias EnRlquE por tu respuesta, lo acabo de ver