Autor Tema: Sobre la consistencia de K_L

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25 Mayo, 2017, 04:02 am
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alexpglez

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Releyendo el argumento de la consistencia de K_L, que como todo teorema es una fórmula lógicamente válida, y no todas las fórmulas son completamente válidas. K_L no puede ser contradictorio.
¿Hay alguna prueba de su consistencia sin fijarnos en modelos y en si las fórmulas son lógicamente válidas de la fórmula?

Mi objección es la siguiente: supongamos que nuestra concepción meta-metalingüística de modelo es contradictoria, ¿cómo podemos estar de acuerdo en el argumento anterior entonces?

En la nota al pie de página pag. 78 (Carlos Ivorra, lógica2) aparece otra demostración referente a modelos: construir un modelo con un sólo objeto. Sin embargo usa un resultado parecido sobre modelos.

Gracias, saludos

25 Mayo, 2017, 10:11 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Releyendo el argumento de la consistencia de K_L, que como todo teorema es una fórmula lógicamente válida, y no todas las fórmulas son completamente válidas. K_L no puede ser contradictorio.
¿Hay alguna prueba de su consistencia sin fijarnos en modelos y en si las fórmulas son lógicamente válidas de la fórmula?

Mi objección es la siguiente: supongamos que nuestra concepción meta-metalingüística de modelo es contradictoria, ¿cómo podemos estar de acuerdo en el argumento anterior entonces?

En la nota al pie de página pag. 78 (Carlos Ivorra, lógica2) aparece otra demostración referente a modelos: construir un modelo con un sólo objeto. Sin embargo usa un resultado parecido sobre modelos.

Si dudas de que podamos hablar consistentemente de un modelo con un único objeto, entonces no puedes confiar en ninguna prueba de consistencia enunciada en términos cualesquiera, porque cualquier prueba de consistencia va a usar más de un objeto y relaciones y funciones definidas sobre esos objetos. Por ejemplo, vas a tener que hablar de los signos de un lenguaje formal (que son más de uno) y de cadenas de signos (que son más de una) y de relaciones y funciones definidas sobre cadenas de signos (como "ser una fórmula", etc.)

Si defines un modelo formado sólo por un objeto \( a \), en el que todas las constantes del lenguaje que consideres se interpreten como \( a \), en el que todos los funtores se interpreten como las funciones constantes iguales a \( a \) y en el que todos los relatores se interpreten como relaciones siempre verdaderas, ¿qué objeción le ves a la prueba de que todos los axiomas lógicos serán verdaderos en ese modelo, que las consecuencias lógicas de fórmulas verdaderas son verdaderas y que, por consiguiente, todos los teoremas lógicos son verdaderos en ese modelo (mientras que es fácil construir fórmulas falsas)?

Si dudas que podamos hablar consistentemente de un único objeto, tu problema no debería ser "creer" en la consistencia de \( K_{\mathcal L} \), sino "creer" en que tenga sentido nada de lo dicho sobre lenguajes formales desde la primera página, sin entrar en modelos.

Aunque, como te decía hace un momento en otro hilo, no alcanzo a identificar todavía dónde está el malentendido subyacente, aventuro una posibilidad, aunque es posible que me equivoque:

Sospecho que, involuntariamente, claro, estás aplicando un doble rasero propio de un formalismo mal entendido: todo lo que te suene a fórmulas te parece aceptable, pero lo que suene a modelos te parece sospechoso. Y el error está en que, aunque, ciertamente, el concepto de modelo puede aplicarse a conceptos "sospechosos" que trascienden nuestra capacidad de intuición, no es menos cierto que cuando se habla de modelos con universos intuitivamente bien determinados no hay ninguna diferencia con lo que hacemos al hablar de lenguajes formales. Un modelo con un elemento es algo mucho más simple y confiable que todo el sistema conceptual que supone la lógica de primer orden en su vertiente puramente sintáctica.

En realidad, digo "Mucho más simple y confiable" por marcar una distancia, pero siendo precisos diría que no existe tal distancia en el sentido de que podemos afirmar con un 100% de seguridad que de podemos hablar coherentemente de lenguajes formales, de modelos con un elemento e incluso de modelos mucho más sofisticados. El caso extremo estaría en el modelo que se construye en la prueba del teorema de completitud. Ese modelo involucra un conjunto no recursivo, por lo que algún finitista radical, o intuicionista o algo así podría cuestionar su validez. Ahí entramos en una cuestión filosófica. Mi opinión personal es que el modelo que se construye ahí está intuitivamente tan bien determinado como un modelo con un elemento, en cuanto a que existe un criterio objetivo que establece cuáles son sus objetos y cuándo son verdaderas o falsas sus relaciones y funciones.

Pero en cualquier caso, dudo mucho que nadie pueda aplicar objeciones del estilo de las que un intuicionista aplicaría a tal modelo al caso de un modelo con un elemento, el cual basta para probar la consistencia de \( K_{\mathcal L} \).

25 Mayo, 2017, 01:00 pm
Respuesta #2

alexpglez

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Entiendo pues que he querido encontrar tres pies al gato.

Supongo que no tiene sentido la cuestión sobre dudar de un objeto bien definido como es un modelo. Es una duda supongo que típica en formalistas radicales que como escribes "un formalista radical no le encuentra sentido a algo a menos de que carezca de significado", releyendo mi pregunta parece muy enfocada en ese sentido.

Gracias, saludos