Autor Tema: Sobre la cardinalidad de las constantes, variables, funtores, relatores

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24 Mayo, 2017, 11:16 pm
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alexpglez

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Buenas tardes.
Leyendo el libro de Carlos Ivorra, tuve esta duda respecto a la cardinalidad cuando leía el capítulo de completitud semántica.

Creo que es un hecho que no está muy explícito en el libro. En el primer capítulo se definen estos elementos, se dice que llevarán un índice natural asociado, supongo que de ahí se deduce que el cardinal de cada tipo símbolo es [texx] \leq \aleph_0 [/texx].
Deduzco que es por ello, que el cardinal de las sentencias de un lenguaje sea numerable [texx] |exp(L)| \leq |\cup_{n\in N} sym(L)^n| \leq \aleph_0 |sym(L)| = \aleph_0 [/texx]. Hecho que se utiliza en la demostración de que todo conjunto maximalmente consiste y ejemplificado de sentencias tiene un modelo numerable.

Me preguntaba sobre si existen lenguajes donde constantes, variables, funtores o relatores puedan ser extrictamente de mayor cardinalidad que [texx] \aleph_0 [/texx]. ¿La definición de (lenguaje formal de) "primer orden" entonces exige (por definición) que el cardinal de cada cosa sea menor o igual a [texx] \aleph_0 [/texx], o estrictamente menor?

Gracias, saludos


25 Mayo, 2017, 12:16 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Buenas tardes.
Leyendo el libro de Carlos Ivorra, tuve esta duda respecto a la cardinalidad cuando leía el capítulo de completitud semántica.

Creo que es un hecho que no está muy explícito en el libro.

Tienes razón. En cuanto pueda trataré de explicitarlo. Como dices:

En el primer capítulo se definen estos elementos, se dice que llevarán un índice natural asociado, supongo que de ahí se deduce que el cardinal de cada tipo símbolo es [texx] \leq \aleph_0 [/texx].

En efecto.

Deduzco que es por ello, que el cardinal de las sentencias de un lenguaje sea numerable [texx] |exp(L)| \leq |\cup_{n\in N} sym(L)^n| \leq \aleph_0 |sym(L)| = \aleph_0 [/texx]. Hecho que se utiliza en la demostración de que todo conjunto maximalmente consiste y ejemplificado de sentencias tiene un modelo numerable.

Sí, pero dicho así suena demasiado conjuntista para ser aceptable en el contexto planteado en mi libro. Una parte fundamental del desarrollo de la lógica de primer orden es que tiene sentido sin necesidad de considerarla formalizada en una teoría de conjuntos, lo cual nos prohíbe hablar de cardinales infinitos, y en particular de cardinales no numerables. En la versión original de mi libro de lógica la numerabilidad de todo lenguaje formal era inmediata a partir de la numeración de Gödel, pero ésta la he eliminado de la nueva versión (es algo un tanto anticuado), y este punto ha quedado algo oscuro, como bien dices. No obstante, es fácil definir explícitamente una enumeración explícita primero de los signos de un lenguaje formal, y luego de sus fórmulas.

Me preguntaba sobre si existen lenguajes donde constantes, variables, funtores o relatores puedan ser extrictamente de mayor cardinalidad que [texx] \aleph_0 [/texx]. ¿La definición de (lenguaje formal de) "primer orden" entonces exige (por definición) que el cardinal de cada cosa sea menor o igual a [texx] \aleph_0 [/texx], o estrictamente menor?

Si uno quiere trabajar sin el apoyo de una teoría de conjuntos (para poder aplicar los resultados obtenidos a la teoría de conjuntos sin caer en un círculo vicioso) tendría que explicar muy bien qué quiere decir con "no numerable", o simplemente con \( \aleph_0 \). Ahora bien, si uno formaliza la lógica en la teoría de conjuntos, entonces ya hay patente de corso para hacer lo que uno quiera, y nada impide considerar lenguajes de primero orden con una cantidad no numerable de signos. En tal caso, puede probarse que toda teoría consistente tiene un modelo de cardinal igual al máximo entre \( \aleph_0 \) y el número de signos del lenguaje.

También es posible considerar lenguajes con fórmulas de longitud infinita, y cosas similares. Algo de eso (pero no mucho) lo puedes ver en mi libro de cardinales grandes.

25 Mayo, 2017, 03:02 am
Respuesta #2

alexpglez

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Gracias por la aclaración. Sobre que no está muy explícito, quizá un poco despiste mío.
Entiendo que para poder definir con un lenguaje "informal" la axiomática de conjuntos, nos vale cualquier lenguaje con símbolos finitos (y bien pocos), luego no es muy necesario a ese nivel hablar de cantidad de símbolos no numerable. Además, se intuye la generalización del teorema de completitud.

Ello sin mencionar el problema técnico que requiere teoremas previos sobre sustitución o sobre deducción, en donde se usa la inducción en el caso finito que se intuye fácilmente, pero en el caso infinito no es nada intuitivo excepto para el que sabe matemáticas.