Autor Tema: Continuidad del número de rotación en familia de levantamientos de homeos de S1

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25 Junio, 2017, 18:08
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pedro diaz

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Estoy considerando la familia \[ F_a:R \rightarrow R \], \[ F_a(x)=x+a+sin(2\pi x) \] Probé que \[ F_a \] es un levantamiento de algún \[ f_a \in \operatorname{Homeo}(S_1) \].

Ahora quiero probar que \[ h: [0,1] \rightarrow R, \ h(a) = \rho (F_a) \] es continua y monotona.

Considero:
\[ \rho (F_a) = lim_{n\rightarrow \infty} (F^n_a(x)-x)/n \]

Quisiera saber si estoy pensando bien.
Considero que \[ h \] es continua en \[ b, b \in [0;1] \] si \[ lim_{a \rightarrow b} h(a) = h(b) \]

Luego

 \[ lim_{a \rightarrow b} h(a) = lim_{a\rightarrow b}[lim_{n\rightarrow \infty} (F^n_a(x)-x)/n] = lim_{n\rightarrow \infty}[lim_{a\rightarrow b} (F^n_a(x)-x)/n]= lim_{n\rightarrow \infty} (F^n_b(x)-x)/n] = h(b) \]

Por lo tanto: \[ h \] es continua en b.

26 Junio, 2017, 19:05
Respuesta #1

EnRlquE

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Hola pedro diaz.

 Lo que haces no está bien porque estás intercambiando los límites cuando \[ n\to\infty \] y cuando \[ a\to b. \] Esto no siempre se puede hacer, hay ejemplos de funciones continuas \[ f_{n} \] que convergen puntualmente a funciones que no son continuas.

 En tu caso concreto no me queda clara la definición de \[ h. \] Tenemos que \[ h(a)=\rho(F_{a})=\lim_{n\to\infty}\frac{F^{n}_{a}(x)-x}{n}, \] imagino que \[ F^{n}(x)=F\big(F^{n-1}(x)\big), \] es decir el súper índice \[ n \] indica composición, pero no se cuál es el papel de \[ x, \] ¿para cada valor de \[ x \] (fijo) se define una función \[ h \]? o es que falta algo en la definición de \[ h. \]

 Bueno, no se, si nos aclaras esto tal vez podamos ayudarte. Saber el nombre (si es que lo tiene) del proceso que permite crear \[ h \] también ayudaría.

Saludos,

Enrique.