Autor Tema: Conteo

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16 Mayo, 2017, 04:47 pm
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serpa

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola a todos. Espero puedan echarme una mano con un ejercicio con el que no he podido dar. Sea \( \mathcal{C} \) un código lineal sobre \( \mathbb{F}_q \), con parámetros \( [n,k] \) y sea \( M \) una matriz de \( q^k \times n \), cuyas filas son los codewords de \( \mathcal{C} \). Demuestre que una columna de \( M \) es totalemente nula o contiene todos los elementos de \( \mathbb{F}_q \) repetidos un mismo número de veces cada uno.

Gracias de antemano.

Saludos.

16 Mayo, 2017, 06:11 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola a todos. Espero puedan echarme una mano con un ejercicio con el que no he podido dar. Sea \( \mathcal{C} \) un código lineal sobre \( \mathbb{F}_q \), con parámetros \( [n,k] \) y sea \( M \) una matriz de \( q^k \times n \), cuyas filas son los codewords de \( \mathcal{C} \). Demuestre que una columna de \( M \) es totalemente nula o contiene todos los elementos de \( \mathbb{F}_q \) repetidos un mismo número de veces cada uno.

Un código lineal \( [n,k] \) es un subespacio vectorial de \( \mathbb{F}_q^n \). La matriz que indicas es aquella cuyas filas son los \( q^k \) vectores que lo componen. Cada uno tiene \( n \) componentes.

Para cada \( j \) podemos definir la aplicación proyección que lleva cada vector del subespacio en su componente \( j \)-ésima:

\( p_j:\mathbb{F}_q^n\to \mathbb{F}_q \)

Es lineal; su imagen es un subespacio; por tanto o bien es cero o bien todo  \( \mathbb{F}_q \).

Además para cada \( x\in Im(p_j) \) tienes que \( p_j^{-1}(x)=\vec v+ker(p_j) \) para algún \( \vec v\in \mathbb{F}_q^n \) con \( p_j(\vec v)=x. \)

Con esto ya lo tienes.

Saludos.

17 Mayo, 2017, 04:58 am
Respuesta #2

serpa

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Vaya! No se me ocurrió de esa manera. Muchas gracias  :aplauso:


Saludos