Hola
Hola a todos. Espero puedan echarme una mano con un ejercicio con el que no he podido dar. Sea \( \mathcal{C} \) un código lineal sobre \( \mathbb{F}_q \), con parámetros \( [n,k] \) y sea \( M \) una matriz de \( q^k \times n \), cuyas filas son los codewords de \( \mathcal{C} \). Demuestre que una columna de \( M \) es totalemente nula o contiene todos los elementos de \( \mathbb{F}_q \) repetidos un mismo número de veces cada uno.
Un código lineal \( [n,k] \) es un subespacio vectorial de \( \mathbb{F}_q^n \). La matriz que indicas es aquella cuyas filas son los \( q^k \) vectores que lo componen. Cada uno tiene \( n \) componentes.
Para cada \( j \) podemos definir la aplicación proyección que lleva cada vector del subespacio en su componente \( j \)-ésima:
\( p_j:\mathbb{F}_q^n\to \mathbb{F}_q \)
Es lineal; su imagen es un subespacio; por tanto o bien es cero o bien todo \( \mathbb{F}_q \).
Además para cada \( x\in Im(p_j) \) tienes que \( p_j^{-1}(x)=\vec v+ker(p_j) \) para algún \( \vec v\in \mathbb{F}_q^n \) con \( p_j(\vec v)=x. \)
Con esto ya lo tienes.
Saludos.
