Autor Tema: Probar que es sucesión acotada

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10 Mayo, 2017, 03:29 am
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cibernarco

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\( a_n , b_n \) donde \( a_n=f(x)=\begin{cases} a_1=1 & \text{}& \\a_n=4n + a_{n-1} & \text{}& \end{cases} \)  y\( b_n=\displaystyle\frac{a_n}{n^2} \). Probar que \( b_n \) es una sucesión acotada y calcular su limite. (Indicación: para todo numero natural n, se cumple que \( \left |{a_n -2n^2}\right |< 2n \))

Hola, no tengo mucha idea de como empezarlo, solo fui dándole valores y pude ver que a creciente, espero puedan ayudarme.Saludos

10 Mayo, 2017, 04:04 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola cibernarco. Al reemplazar valores en \( a_n \) nos da una intuición de como puede reescribirse de forma más cómoda.

    \( a_1=1 \)

    \( a_2=4\cdot 2+1 \)

    \( a_3=4\cdot3+4\cdot 2+1 \)

    \( a_4=4\cdot4+4\cdot3+4\cdot 2+1 \)
          \( \vdots \)
    \( a_n=4(2+3+4+\dots n)+1 \)

         \( =4\left(-1+\displaystyle\sum_{i=1}^ni\right)+1 \)   (*)

         \( =4\left(-1+\dfrac{n(n+1)}{2}\right)+1 \)

         \( =\dots=2n^2+2n+3 \)

(*) Seguro conoces esa suma, y si no, puedes probarla por inducción, es muy fácil.

Con eso ya puedes calcular el límite pedido y concluir que \( b_n \) es acotada.

10 Mayo, 2017, 03:35 pm
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Si te dan esa indicación es  directo, sólo hay que dividir por \( n^2  \)

\( |a_n - 2 \cdot n^2| < 2 \cdot n  \)

\( |\dfrac{a_n}{n^2} - 2 | < \dfrac{2}{n}  \) que es lo mismo que \( |b_n - 2 | < \dfrac{2}{n}  \)

Esto desigualdad \( |a_n - 2 \cdot n^2| < 2 \cdot n  \) se prueba inducción.

10 Mayo, 2017, 04:27 pm
Respuesta #3

cibernarco

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Genial! Muchas gracias por su ayuda! logre entenderlo.Saludos