[Protágoras]

Hola, tengo la siguiente pregunta

Sea U una curva plana afín definida por \( x^2=3+10t^4+3t^8 \). Sea V la curva plana afín definida por \( w^2=z^6-1 \). Pruebe  que las curvas son suaves. Demuestre que la función \( F:U\rightarrow V \) definida por \( z=(1+t^2)/(1-t^2) \) y \( w=2tx/(1-t^2)^3 \) es holomorfa y no se ramifica siempre que \( t\neq{\pm{1}} \).

¿Cómo hago para determinar que la función \( F \) es holomorfa? ¿Tengo que tomar las cartas? ¿Puedo ver \( F:=(f_1,f_2) \)?

También les pido si tienen alguna otra referencia o notas, con ejemplos sobre este tema. ¡Muchas gracias!

[Protágoras]

Resolví el problema. Escribiré parte de lo que hice por si a alguien más le interesa.

\( U: f(x,t)=0,\ \ \ \ f(x,t)=x^2-3-10t^4-3t^8 \)

\( V: g(z,w)=0,\ \ \ \ g(z,w)=w^2-z^6+1 \)

Notemos que \( (0,0)\notin U \) y \( (0,0)\notin V \)

Veamos también que
\( \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=2x=0 \Longleftrightarrow x=0\\ \frac{\partial f}{\partial t}=-8t^4(5+3t^4)=0 \Longleftrightarrow t=0 \vee t^4=-5/3 \end{cases}  \)
y
\( \begin{cases} \frac{\partial g}{\partial z}=2z=0 \Longleftrightarrow z=0\\ \frac{\partial g}{\partial w}=2w=0 \Longleftrightarrow w=0\end{cases}  \)

Por lo tanto U y V son suaves.

Además \( (\pm{4},\pm{1})\notin U \)

Ahora, para probar que \( F \), es holomorfa lo hago por casos:

Sea \( p\in U\backslash(\pm{4},\pm{1}) \)

I)\( \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(p)\neq 0 \Longleftrightarrow x\neq 0 \)

Existe \( h \) holomorfa tal que \( x=h(t) \) e a carta \( \pi_2(h(t),t)=t \)

I.1) \( \frac{{\partial f}}{{\partial t}}=0 \Longleftrightarrow t=0 \)

Entonces \( p=(\pm{\sqrt[ ]{3}},0) \),

además \( F(p)=(1,0)=(z_0,w_0) \)

\( z_0\neq 0 \Longleftrightarrow \frac{{\partial g}}{{\partial z}}(F(p))\neq 0 \)

por el teorema de la función implícita existe \( \tilde{h} \) holomorfa tal que \( z=\tilde{h}(w) \) e a carta \( \pi_2(\tilde{h}(w),w)=w \)

tenemos o mapa local (en una vecindad de \( t=0 \)) tal que \( t \mapsto \pi_2\circ F \circ \pi_2^{-1}(t)=\displaystyle\frac{2h(t)t}{(1-t^2)^3} \)

que es una función holomorfa.

Para ver si es un punto de ramificación, veamos la serie de Laurent en una vecindad de \( 0 \) de

\( \displaystyle\frac{1}{(1-t^2)^3}=1+\dots \)

\( h(t)=h(0)+\dots, \ \ \ h(0)=\pm{\sqrt{3}}\neq 0 \)

Por tanto la serie de Laurent del mapa local, en una vecindad de \( 0 \)

\( \displaystyle\frac{2th(t)}{(1-t^2)^3}=2t+\dots \)

Y por el lema 4.4 del libro (dice que la multiplicidad en un punto es uno a más que el orden de la derivada del mapa local)

\( mulp_pF=1 \), p no es un punto de ramificación.

De forma análoga continué en los otros casos.

Si alguien tiene una mejor manera de hacer esto le agradecería la explicación.