Autor Tema: Expansión de Laurent de función logaritmo

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02 Mayo, 2017, 05:55 pm
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mapa

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Buen día!  Tengo un ejercicio en el cual me piden encontrar la expansión de la función \( ln\left({\displaystyle\frac{z-a}{z-b}}\right) \) en serie de Laurent en \( z=\infty \).

Disculpen; pero no tengo avance en la solución de éste,  mi primer dificultad es que no comprendo que significa expander en  \( z=\infty \).

Espero que me puedan explicar esa cuestión y orientar sobre cómo debo comenzar.

02 Mayo, 2017, 09:00 pm
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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Haz \( z = \frac{1}{w} \) y desarrolla en serie de Laurent en \( w = 0 \). Luego cambias otra vez a \( z \).

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

03 Mayo, 2017, 04:20 am
Respuesta #2

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Haz \( z = \frac{1}{w} \) y desarrolla en serie de Laurent en \( w = 0 \). Luego cambias otra vez a \( z \).

Gracias por las sugerencias!  Sólo para verificar, a continuación escribo el desarrollo que he hecho tratando de seguir las indicaciones:

\( ln\left({\displaystyle\frac{z-a}{z-b}}\right)]=ln\left({\displaystyle\frac{1-aw}{1-b}}\right)=ln(1-aw)-ln(1-bw)=:f(w)
\Rightarrow{f'(w)=\displaystyle\frac{-a}{1-aw}+\displaystyle\frac{b}{1-bw}}=b\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{(bw)^i}-a\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{(aw)^i}
 \) para \( \left |{bw}\right |<1  \) y \( \left |{aw}\right |<1  \)

Luego,  integrando obtengo que
\( f(w)=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{\displaystyle\frac{(bw)^{i+1}}{i+1}}-\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{\displaystyle\frac{(aw)^{i+1}}{i+1}}=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{\displaystyle\frac{(b^{i+1}- a^{i+1} )w^{i+1}} {i+1}} \) de donde finalmente haciendo un cambio de índice y volviendo a la variable original, resulta que

\( f(z) =\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{b^{n}- a^{n} } {nz^n}}  \) para \( \left |{z}\right |>max (\left |{a}\right |,\left |{b}\right |) \)

03 Mayo, 2017, 09:08 am
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

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Haz \( z = \frac{1}{w} \) y desarrolla en serie de Laurent en \( w = 0 \). Luego cambias otra vez a \( z \).

Gracias por las sugerencias!  Sólo para verificar, a continuación escribo el desarrollo que he hecho tratando de seguir las indicaciones:

\( ln\left({\displaystyle\frac{z-a}{z-b}}\right)]=ln\left({\displaystyle\frac{1-aw}{1-b}}\right)=ln(1-aw)-ln(1-bw)=:f(w)
\Rightarrow{f'(w)=\displaystyle\frac{-a}{1-aw}+\displaystyle\frac{b}{1-bw}}=b\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{(bw)^i}-a\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{(aw)^i}
 \) para \( \left |{bw}\right |<1  \) y \( \left |{aw}\right |<1  \)

Luego,  integrando obtengo que
\( f(w)=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{\displaystyle\frac{(bw)^{i+1}}{i+1}}-\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{\displaystyle\frac{(aw)^{i+1}}{i+1}}=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{\displaystyle\frac{(b^{i+1}- a^{i+1} )w^{i+1}} {i+1}} \) de donde finalmente haciendo un cambio de índice y volviendo a la variable original, resulta que

\( f(z) =\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{b^{n}- a^{n} } {nz^n}}  \) para \( \left |{z}\right |>max (\left |{a}\right |,\left |{b}\right |) \)

Perfecto. En mi respuesta anterior, quería decir desarrollar en serie de Taylor en \( w = 0 \), no en serie de Laurent, pero ya veo que no tuviste problemas.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)