Hola
Bienvenido al foro.
Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Buenas tardes, les comento, estoy resolviendo problemas de programación lineal pero me cuesta plantearlos. Quería saber si alguno me podría ayudar a resolverlo o darme unos consejos. Muchas Gracias. Aquí la consigna del ejercicio:
"Se desea diseñar un tanque cilíndrico con dos tapas semiesféricas. El radio de la esfera es \( r \) y la longitud de la parte cilíndrica es \( l \). El volumen que se desea contener es \( V \).
Encontrar las dimensiones \( r \) y \( l \) para minimizar la superficie lateral del tanque (total, cada semiesfera mas la parte cilíndrica, de modo que el volumen sea igual a \( V \).
Pista: el volumen de una esfera es igual a \( \dfrac{4}{3}\pi r^3 \). El área lateral de una esfera es \( 4\pi r^2 \). El volumen de un cilindro es superficie de la base por altura. Gracias.
El volumen del tanque es el volumen de la esfera más el volumen del cilindro. Por tanto tienes la restricción:
\( \dfrac{4}{3}\pi r^3+\pi r^2\cdot l=V \) (*)
El área que tienes que minimizar es el de la esfera más la lateral del cilindro:
\( A(r,l)=4\pi r^2+2\pi r l \)
Se trate de minimizar \( A(r,l) \) bajo la restricción (*). Es un procedimiento mecánico si usas el método de multiplicadores de Lagrange.
Planteas:
\( F(r,l,\lambda)=A(r,l)+\lambda(\dfrac{4}{3}\pi r^3+\pi r^2\cdot l-V) \)
Los candidatos a mínimo aparecen en los puntos donde se anulan simultáneamente las tres derivadas parciales.
Intenta llevarlo a cabo y pregunta las dudas que te surjan.
Saludos.
