Autor Tema: Problema de semajanza y proporcionalidad de triángulos

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25 Abril, 2017, 01:57 am
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civiloco

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Buenas noches a todos, tengo un ejercicio que dice así."en el gráfico mostrado determine en qué relación se encuentran los segmentos AD, DE y EM" yo intente con teorema de Thales hallando la proporcion de EM con respecto al segmento AM, pero no sé como hallar los otros dos segmentos, espero sus ideas y garcias de antemano.



25 Abril, 2017, 02:20 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola.    Editado

Podrías probar relacionando áreas de los triángulos.

También podemos probar con el teorema de Menelao.

https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Menelao
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

25 Abril, 2017, 03:28 pm
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

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Buenas noches a todos, tengo un ejercicio que dice así."en el gráfico mostrado determine en qué relación se encuentran los segmentos AD, DE y EM" yo intente con teorema de Thales hallando la proporcion de EM con respecto al segmento AM, pero no sé como hallar los otros dos segmentos, espero sus ideas y garcias de antemano.


Otra posibilidad es el método de las pesas. Para determinar la posición del punto E en el segmento AM, colocamos pesas en A, B y C de manera que E sea el centro de gravedad. Para ello el centro de gravedad de B y C debe estar en M, por lo que hay que colocar 5 veces más peso en B que en C. Pero el centro de gravedad de A y C debe estar a su vez en N, por lo que debe haber cinco veces más peso en C que en N. Por tanto En B debe haber 25 veces más peso que en A y cinco más que en C. Colocamos entonces una masa unitaria en A, cinco en C y 25 en B. Las masas en B y C las podemos sustituir por 30 masas unitarias en M. Como tenemos una en A, deducimos que

\( \displaystyle\frac{\overline{AE}}{\overline{EM}}=\displaystyle\frac{30}{1} \)

Cambiemos ahora las pesas para que el centro de gravedad este en D. En A debe haber cinco veces más pesas que en B, y en B cinco veces más que en C. Por tanto, ponemos 1 en C, 5 en B y 25 en A. Tenemos ahora un equivalente de 6 pesas en M y 25 en A, por lo que:

\( \displaystyle\frac{\overline{AD}}{\overline{DM}}=\displaystyle\frac{6}{25} \)

A partir de estas proporciones, puedes hallar todas las demás. Por resumir, si divides \( \overline{AM}\textrm{ en }31 \) partes iguales, a \( AD\textrm{ le corresponden }6,\textrm{ a }\overline{DE} \;\;24,\textrm{ y a }\overline{EM}\;\; 1 \).

En este enlace: Razón de segmentos determinados por dos cevianas tienes un applet hecho con GeoGebra con el que puedes comprobar y experimentar esto. También para una ceviana y una transversal.

También te puede interesar echarle un vistazo a este otro: Triángulo formado por tres cevianas

Saludos,

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

26 Abril, 2017, 07:12 am
Respuesta #3

civiloco

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Muchas gracias amigos ahora veo qu hay muchas formas de resolver por eso la matemática es lo mejor