[megasaw]

Tengo esta inecuación, donde un término independiente impide llegar a la conclusión y no sé cómo eliminarlo. Dice:
Si \(  a+b>0 \) entonces pruebe que \(  a^3+b^3>a^2b+ab^2  \)
Si elevo al cubo aparece un 3 que me impide llegar a la conclusión, espero puedan ayudarme.

[mathtruco]

Hola megasaw.

    \( 0\leq (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\Rightarrow ab\leq a^2-ab+b^2 \)

y como \( a+b>0 \)

    \( ab(a+b)\leq (a^2-ab+b^2)(a+b) \)

    \( a^3+b^3\leq a^2b+ab^2 \).



La forma en que vi como resolverlo es la siguiente: expandir ambas expresiones de la desigualdad para ver si nos da una pista por donde agarrarnos:

    \( a^3+b^3={\color{blue}(a+b)}(b^2-ab+b^2) \)

    y \( a^2b+ab^2=ab\color{blue}(a+b) \)

Como queremos analizar ambas expresiones podemos olvidarnos del \( \color{blue}(a+b) \) quedando:

    \( b^2-ab+b^2\;\,{\color{red}?}\;\,ab \)  (uso "?" porque aún no conocemos la relación)
    \( b^2-2ab+b^2\;\,{\color{red}?}\;\, 0 \)
    \( (a-b)^2\;\,{\color{red}?}\;\, 0 \)  (acá ya notamos que "?" debe ser un mayor o igual)

aparece un cuadrado binomio que podemos usar, como empecé este mensaje.

[Samir M.]

Hola.

Sólo un pequeño añadido a la bonita respuesta de mathtruco. Como \( a+b > 0 \) entonces \( a \neq -b \) luego la inecuación \( (a+b)^2 \geq 0 \) es estricta: \( (a+b)^2 > 0 \) de modo que las demás inecuaciones se convierten en estrictas también.

Saludos.

[luis]

Otra forma sería considerar \( x \) tal que
\( b = x - a
 \)
Ahora, habría que probar que

si \( x > 0 \) entonces \( a^3+{(x-a)}^3>a^2 \times (x-a)+a \times {(x-a)}^2 \)


Saludos

luis

[megasaw]

Gracias por su ayuda