Autor Tema: Ejercicio de Inducción Matemática

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08 Mayo, 2017, 07:29 am
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Sagnior

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Muy Buen día a todos! Hoy vengo con un ejercico de Inducción matemática en el que estoy "trancado" ya a pocos pasos de terminar de resolverlo. Si me pueden ayudar se los agradecería mucho. Gracias de antemano

Demuestre usando inducción matemática:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{i\cdot{}i!}=(n+1)!-1 \)

La Base Inductiva n=1 la resolví sin problemas.
\( \displaystyle\sum_{i=1}^1{i*i!}=(1+1)!-1 \)
\( 1=1 \)
La Hipótesis Inductiva n=k:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^k{i*i!}={k+1}!-1 \)

Ahora en donde me tranqué:

LA Tesis Inductiva n=k+1:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}{i*i!}=(k+2)!-1 \)  (si tengo mal la sustitución de variables me corrigen por favor)

Demostración:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}{i\cdot{}i!} \)
= \( i \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}{i!} \)    Propiedad de Sumatoria
= \( i \cdot{} 1!+2"+3·+...+k!+(k+1)! \)                Def de Sumatoria
= \( i \displaystyle\sum_{i=1}^k{i!}+(k+1)! \)  Def de Sumatoria
= \( \displaystyle\sum_{i=1}^k{i\cdot{}i!}+(k+1)! \)     Propiedad de Sumatoria
= \( (k+1)!-1+(k+1)! \)          Hipóstesis inductiva


Y hasta ahí llegué.

Gracias de antemano por su ayuda.

08 Mayo, 2017, 08:18 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola Sagnior.

En la primera línea de la demostración tienes un error. No puedes sacar la \( i \) de la sumatoria.

    \( \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}i\cdot i!=(k+1)(k+1)!+\sum_{i=1}^ki\cdot i!=(k+1)(k+1)!+(k+1)!-1 \)

Sólo falta una igualdad para concluir.


Para escribir correctamente la sumatoria debes hacer iso de las llaves { y }. Revisa como las escribí y edita tu mensaje para que tus expresiones se vean bien.

08 Mayo, 2017, 05:44 pm
Respuesta #2

Sagnior

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Gracias mathtruco!

Disculpa la molestia pero no logro ver el cómo de:

\( (k+1)(k+1)!+(k+1)!-1 \)

llego a : \( (k+2)!-1 \)

Sin embargo sí veo que llego a \( (k+1)2(k+1)!-1 \) (corrígeme si me equivoco)  ???

08 Mayo, 2017, 06:03 pm
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

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Gracias mathtruco!

Disculpa la molestia pero no logro ver el cómo de:

\( (k+1)(k+1)!+(k+1)!-1 \)

llego a : \( (k+2)!-1 \)

Sin embargo sí veo que llego a \( (k+1)2(k+1)!-1 \) (corrígeme si me equivoco)  ???

Sacas \( (k + 1)! \) factor común:

\( (k+1)(k+1)!+(k+1)!-1= ((k+1) + 1)(k+1)! - 1 = (k+2)(k+1)! - 1 = (k+2)! - 1 \)

que es lo que necesitas para corroborar la tesis inductiva.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

08 Mayo, 2017, 06:44 pm
Respuesta #4

Sagnior

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Wow gracias ilarrosa!

El como se aplicó ese factor común me fue de ayuda para resolver otro ejercicio  ;D

Saludos.