Autor Tema: La disyunción exclusiva para 3 letras sentenciales

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05 Abril, 2017, 11:43 pm
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Kront

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Muy buenas, soy un estudiante recién empezado en lógica y me he encontrado un problema a la hora de expresar que tres fórmulas \( p,q,r \) son verdaderas individualmente, me explico, o bien se cumple \( p \), o bien se cumple \( q \), o bien se cumple \( r \), pero serían falsos los casos donde no se cumple ninguna, se cumplen dos o se cumplen todas.

En un principio lo exprese de la forma \( p\nleftrightarrow q\nleftrightarrow r \) pero me di cuenta haciendo la tabla de la verdad que entonces el caso donde se cumplen las 3 sería cierto.

La solución más rápida que se me ha venido a la mente es cambiarla a \( (p\nleftrightarrow q\nleftrightarrow r)\wedge\neg(p\wedge q\wedge r) \) aunque no me termina de convencer.

Si a alguno se le ocurriese otra forma más clara y concisa de expresarlo (y a ser posible breve, pues si \( p,q,r \) son otras fórmulas queda una expresión muy grande) le estaría muy agradecido.

Muchas gracias.

05 Abril, 2017, 11:53 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Mil disculpas, entendí mal el enunciado, mi respuesta no responde la pregunta  :-[


Hola Kront. ¿El único caso donde la proposición es falsa es cuando las 3 proposiciones son falsas?. Entonces \( p\vee q\vee r \) te sirve, pues para ser verdadera bastará que una de ellas lo sea, y el único caso donde es falsa es cuando son falsas las tres.

06 Abril, 2017, 12:21 am
Respuesta #2

mathtruco

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Ahora sí puse cuidado en el enunciado, y era más complicado de lo que pensé inicialmente.

Este tipo de ejercicios depende mucho de cómo razona cada uno, y eso no siempre es fácil de explicar. Voy a intentar explicar lo mejor posible la forma que se me ocurre.

Lo que hice fue hacer la tabla de verdad de \( p \), \( q \) y \( r \), y la de lo que debemos obtener.
La proposición debe ser verdadera sólo en los tres siguientes casos:

  • \( p=V,q=F,r=F \)
  • \( p=F,q=V,r=F \)
  • \( p=F,q=F,r=V \)

Para que sea más fácil, me preocupo de buscar una proposición donde sólo sea cierta en el caso \( p=V,q=F,r=F \). Luego veré los otros dos casos, y uniré las rtres proposiciones con "o" para obtener el resultado.

Como quiero que sea verdadera en el caso \( q=F,r=F \), elijo \( (\sim q\wedge\sim r) \), y así \( p\wedge(\sim q\wedge\sim r) \) va a ser cierta sólo cuando \( p=V,q=F,r=F \), que es lo que queríamos.

Construye una tabla de verdad con todo esto y continúa.

06 Abril, 2017, 12:24 am
Respuesta #3

ingmarov

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Hola

Creo que puede ser:
Spoiler
\( (p\wedge \overline{q}\wedge \overline{r})\vee(\overline{p}\wedge q\wedge \overline{r})\vee(\overline{p}\wedge \overline{q}\wedge r) \)
[cerrar]
Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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06 Abril, 2017, 12:30 am
Respuesta #4

mathtruco

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Totalmente de acuerdo con ingmarov.

Spoiler
Cómo no, si es la que propuse  ;D
[cerrar]

06 Abril, 2017, 01:00 am
Respuesta #5

ingmarov

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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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06 Abril, 2017, 03:45 pm
Respuesta #6

Kront

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De acuerdo, entonces (como el objetivo es que sea lo más corto posible) ¿podría hacer la siguiente definición?:

\( p_1\bigvee p_2\bigvee \cdots\bigvee p_n := (p_1\wedge \neg p_2\wedge\cdots\wedge \neg p_n)\vee(\neg p_1\wedge p_2\wedge\cdots\wedge \neg p_n)\vee\cdots\vee (\neg p_1\wedge \neg p_2\wedge\cdots\wedge p_n) \)

El objetivo es que sea cual sea el número de letras sentenciales solo sea verdad cuando lo es una de ellas y el resto falsa, es decir p o bien q o bien r o bien s ...

¿Sería correcta la definición?¿Lo definiríais de otra forma? ¿Pensáis que el símbolo \( \bigvee \) es el adecuado o cogeríais otro para esta definición ?

Muchas gracias.

Edición 1: De forma aclaratoria, \( (\neg p_1\wedge \neg p_2\wedge\cdots\wedge p_k\wedge \cdots\wedge \neg p_n) \) sería la cadena de conjunciones de las letras sentenciales desde \( p_1 \) hasta \( p_n \) negadas, excepto \( p_k \) que no estará negada.

06 Abril, 2017, 04:26 pm
Respuesta #7

mathtruco

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El resultado es correcto, y para convencerse es cosa de mirar mi primera respuesta y generalizarlo (al menos a mí me convence  ;D ). O revisar el apunte que señala ingmarov donde parec que hay reglas generales para deducir estas fórmulas, pero es un tema que desconozco.

Sobre la notación, \( \bigvee \) y \( \vee \) son demasiado parecidas como para referirse a cosas distintas. Si uno las escribe cerca se nota la diferencia, pero si no puede pensarse fácilmente que son lo mismo. Yo preferiría escribir simplemente \( P(p_1,\dots p_n) \).

Para resumir la notación yo escribiría

    \( P(p_1,\dots p_n)=\displaystyle\bigvee_{k=1}^n\left[p_k\wedge\left(\displaystyle\bigwedge_{\substack{i=1 \\ i\neq k}}^n\sim p_i\right)\right] \)

donde

    \( \displaystyle\bigvee_{k=1}^n p_k=p_1\vee p_2\vee\dots p_n \)

y

    \( \displaystyle\bigwedge_{k=1}^n p_k=p_1\wedge p_2\wedge\dots p_n \)

pero claro, el tema de notación dependerá de cada uno.

06 Abril, 2017, 04:29 pm
Respuesta #8

Carlos Ivorra

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Sólo un matiz, que, con lo puntilloso que veo que eres, tal vez para ti sea importante:

Cuando defines esto:

\( p_1\bigvee p_2\bigvee \cdots\bigvee p_n := (p_1\wedge \neg p_2\wedge\cdots\wedge \neg p_n)\vee(\neg p_1\wedge p_2\wedge\cdots\wedge \neg p_n)\vee\cdots\vee (\neg p_1\wedge \neg p_2\wedge\cdots\wedge p_n) \)

no sé si eres consciente de que, entonces, \( p\bigvee q\bigvee r \) es equivalente, pero no es lo mismo que \( (p\bigvee q)\bigvee r \).

Lo digo porque uno podría pensar en definir la operación \( p\bigvee q:=(p\land\neg q)\lor (\neg p\land q) \) y entender que \( p\bigvee q\bigvee r \) se define como \( (p\bigvee q)\bigvee r \). Sin embargo, tú estás definiendo "en bloque" una fórmula con \( n \) variables proposicionales. No hay ningún inconveniente en hacerlo, pero uno tiende a pensar que una operación repetida se define como la que resulta de aplicar sucesivamente la operación binaria correspondiente. Por ejemplo, \( 3+5+7+2 \) se define como \( ((3+5)+7)+2 \), y no hay una definición "en bloque" de suma de cuatro sumandos.

Se intercaló el mensaje de mathtruco. Éste responde al precedente.

21 Abril, 2017, 07:22 pm
Respuesta #9

Kront

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Muchas gracias por las respuestas, siento la tardanza de la mía pero me temo que últimamente no he podido pensar mucho en el tema.

Primero de todo me gustaría saber su opinión sobre esta otra notación:\( p\overset{ex}{\longleftrightarrow} q \) . El ex se refiere a exclusivo, ya que la idea viene de poder expresar que x casos (siendo x igual o mayor que 2) no se pueden dar a la vez, es decir; o bien se da el caso 1, o bien se da el caso 2, ..., o bien se da el caso x. Nunca 2 simultáneamente. Por lo tanto sería como una generalización de la disyunción exclusiva y por eso el ex.

Además me gustaría compartir un duda más. Si definimos como \( p\overset{ex}{\longleftrightarrow} q:= (p\wedge \neg q)\vee(\neg p \wedge q) \) al poner \( p \overset{ex}{\longleftrightarrow} q \overset{ex}{\longleftrightarrow} r \), entendido como \( (p \overset{ex}{\longleftrightarrow} q) \overset{ex}{\longleftrightarrow} r \) ¿no pasaría que el caso donde \( p,q \) y \( r \) son ciertas, también sería cierto? Ese no sería el objetivo del signo, ya que tiene que expresar que x casos no se pueden dar simultáneamente, por lo tanto cuando \( p,q \) y \( r \) son ciertas debería dar en la tabla de verdad falso.

Muchas gracias.

Edición: se me olvidó preguntar una cosa más, ¿definirlo como hace mathtruco tendría alguna desventaja en respecto a definirlo como una operación binaria?

21 Abril, 2017, 08:33 pm
Respuesta #10

Carlos Ivorra

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Además me gustaría compartir un duda más. Si definimos como \( p\overset{ex}{\longleftrightarrow} q:= (p\wedge \neg q)\vee(\neg p \wedge q) \) al poner \( p \overset{ex}{\longleftrightarrow} q \overset{ex}{\longleftrightarrow} r \), entendido como \( (p \overset{ex}{\longleftrightarrow} q) \overset{ex}{\longleftrightarrow} r \) ¿no pasaría que el caso donde \( p,q \) y \( r \) son ciertas, también sería cierto? Ese no sería el objetivo del signo, ya que tiene que expresar que x casos no se pueden dar simultáneamente, por lo tanto cuando \( p,q \) y \( r \) son ciertas debería dar en la tabla de verdad falso.

Pues tienes razón. Lo pensé mal. Y eso hace que el matiz sea aún más importante: la operación con n fórmulas que quieres definir NO resulta de iterar una operación binaria, y no tenerlo claro puede llevar a confusiones (por ejemplo, la mía  ;D).

Edición: se me olvidó preguntar una cosa más, ¿definirlo como hace mathtruco tendría alguna desventaja en respecto a definirlo como una operación binaria?

No es que tenga desventajas, es que definirlo como una operación binaria es imposible.

23 Abril, 2017, 04:39 pm
Respuesta #11

Kront

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Muchas gracias Don Ivorra. Ya me gustaría terminar con el tema diciendo dos cosas más.

Me di cuenta que con el si y solo si (\( \leftrightarrow \)) pasa lo mismo si añadimos más de dos letras sentenciales. Es decir, si queremos decir "P si y solo si Q si y solo si R", refiriendonos a que  o bien P,Q y R son ciertos o bien P, Q y R son falsos sería incorrecto expresar \( p \leftrightarrow q \leftrightarrow r \). Una forma de expresarlo sería \( (p\leftrightarrow q)\wedge(q\leftrightarrow r) \), pero como mi objetivo es hacerlo con el menor espacio posible se me ocurre definirlo como \( p_1 \text{ iff }\cdots\text{ iff }p_n:= \left(\bigwedge\limits^n_{i=1}p_i\right)\vee\left(\bigwedge\limits^n_{i=1}\neg p_i\right) \), que entiendo que no hay diferencia si lo definiéramos como \( p_1 \text{ iff }\cdots\text{ iff }p_n:= \left(\bigwedge\limits^n_{i=1}p_i\right)\nleftrightarrow\left(\bigwedge\limits^n_{i=1}\neg p_i\right) \), con lo que sería cierto cuando todas las \( p \) fueran ciertas o cuando todas las \( p \) fueran falsas. ¿Habría alguna diferencia entre las dos definiciones?¿Se puede expresar esta como una operación binaria?

Y ya lo ultimísimo, ¿alguna forma de demostrar que la operación a la que llamo \( \overset{ex}{\longleftrightarrow} \) no se puede expresar como una composición de operaciones binarias?

Muchas gracias

23 Abril, 2017, 07:28 pm
Respuesta #12

Carlos Ivorra

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Me di cuenta que con el si y solo si (\( \leftrightarrow \)) pasa lo mismo si añadimos más de dos letras sentenciales. Es decir, si queremos decir "P si y solo si Q si y solo si R", refiriendonos a que  o bien P,Q y R son ciertos o bien P, Q y R son falsos sería incorrecto expresar \( p \leftrightarrow q \leftrightarrow r \).

En efecto. Es frecuente escribir \( p \leftrightarrow q \leftrightarrow r \) pero no con el significado de \( (p \leftrightarrow q) \leftrightarrow r \), sino con el de \( (p\leftrightarrow q)\wedge(q\leftrightarrow r) \).

Una forma de expresarlo sería \( (p\leftrightarrow q)\wedge(q\leftrightarrow r) \), pero como mi objetivo es hacerlo con el menor espacio posible se me ocurre definirlo como \( p_1 \text{ iff }\cdots\text{ iff }p_n:= \left(\bigwedge\limits^n_{i=1}p_i\right)\vee\left(\bigwedge\limits^n_{i=1}\neg p_i\right) \), que entiendo que no hay diferencia si lo definiéramos como \( p_1 \text{ iff }\cdots\text{ iff }p_n:= \left(\bigwedge\limits^n_{i=1}p_i\right)\nleftrightarrow\left(\bigwedge\limits^n_{i=1}\neg p_i\right) \), con lo que sería cierto cuando todas las \( p \) fueran ciertas o cuando todas las \( p \) fueran falsas. ¿Habría alguna diferencia entre las dos definiciones?

En cuanto al significado, ambas son equivalentes, como bien dices. Lo que no entiendo es esa preocupación por ocupar el menor espacio posible. Cuando defines algo es precisamente para no volver a usar la definición desarrollada, sino la expresión que has designado para expresarla, así que, ¿cuál es la importancia de que lo que no vas a volver a escribir nunca más sea más largo o más corto?

¿Se puede expresar esta como una operación binaria?

Y ya lo ultimísimo, ¿alguna forma de demostrar que la operación a la que llamo \( \overset{ex}{\longleftrightarrow} \) no se puede expresar como una composición de operaciones binarias?

La respuesta es la misma en ambos casos: la operación binaria en cuestión sería necesariamente la definición general particularizada al caso de dos variables, pero si iteras esta definición poniendo \( (p*q)*r \), donde \( * \) representa a cualquiera de las dos operaciones, observas que el resultado no es equivalente al \( p*q*r \) que habías definido inicialmente, luego la única operación binaria posible no cumple lo que debería cumplir.

23 Abril, 2017, 08:22 pm
Respuesta #13

Kront

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En cuanto al significado, ambas son equivalentes, como bien dices. Lo que no entiendo es esa preocupación por ocupar el menor espacio posible. Cuando defines algo es precisamente para no volver a usar la definición desarrollada, sino la expresión que has designado para expresarla, así que, ¿cuál es la importancia de que lo que no vas a volver a escribir nunca más sea más largo o más corto?

Creo que no me exprese con suficiente claridad. Mi intención al introducir el símbolo iff es reducir el número de veces que hay que poner \( p, q, r \), ya que en la expresión \( (p \leftrightarrow q)\wedge (q\leftrightarrow r) \) necesito poner \( p ,q ,r \) 4 veces, mientras que con el iff solamente 3, y si \( p, q, r \) son fórmulas medianamente grandes puede marcar la diferencia. Lo largo que sea lo que está a la derecha del \( := \) me es indiferente, mi objetivo es no tener que repetir letras sentenciales con la nueva definición, como se consigue al expresar \( p \text{ iff }q\text{ iff }r \).

Si se pregunta porque esta necesidad, es para unos apuntes personales que estoy haciendo al estudiar sus libros de álgebra, geometría y análisis. Los apuntes los hago mediante fórmulas lógicas, intentado omitir las palabras que me sea posible (menos las que pueden acortar una fórmula, como decir que una función es biyectiva). Por este motivo intento que, para poder leerlas mejor sean, cuanto más cortas mejor ya que si se hacen muy largas y aparecen muchos paréntesis se vuelven más complicadas de leer.