Autor Tema: Problema distancia recorrida

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23 Abril, 2017, 05:24 pm
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Alejandroide

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Muy buenas tardes!!!
A ver si alguien es capaz de resolver esto.
Vereis me ha surgido el siguiente problema y no soy capaz de resolverlo.
En un disparo parabolico es posible conocer la distancia del camino recorrido del proyectil?
Por ejemplo:
Cojo una pistola y disparo lo mas vertical q puedo y a los segundos la bala cae a un par de metros de mi. En este caso la distancia serian 2 metros, pero el camino de la bala ha sido mucho mas largo, la bala ha subido 150 metros y ha bajado, osea q su distancia del camino recorrido seran unos 302, algo mas debido a la curvatura de la parabola.
¿como podriamos obtener una ecuacion q indicandole la distancia del camino recorrido me diga el punto exacto de la parabola??

23 Abril, 2017, 06:58 pm
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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En ese caso la distancia recorrida sería muy poco más de 300m. Aproximando la parábola por dos segmentos rectiíneos y aplicando el T de Pitágoras, sería muy aproximadamente

\( \approx{2\sqrt[ ]{150^2 + 1^2} = 2\sqrt[ ]{22501} \approx{} 2·150.003333 \approx{} 300.006666} \)

En realidad un poco mayor, pero  no mucho, mucho menos que 302.

Respondiendo un poco a tu pregunta, si que se puede, hay que parametrizar la parábola en función de la longitud del arco. Pero  no es exactamente sencillo. Si te interesa pregunta de nuevo, que te contestará alguien con más detalle. Por ejemplo mathtruco, que lleva al menos una docena de años calculando longitudes de parábolas ...  ;)

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

23 Abril, 2017, 07:23 pm
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Toma la ecuación:

\( y(x) = \tan(\theta) \cdot x - (\dfrac{g}{2 \cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}) \cdot x^2  \)

Donde \( \theta \) es el ángulo con que se lanzo el proyectil y \( v_0  \) la velocidad inicial conque se lanzó.

Para cada \(  x  \) te dice la altura, tendrá entonces esta ecuación \( s(x) = (x ,  \tan(\theta) \cdot x - (\dfrac{g}{2 \cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}) \cdot x^2)  \)


Donde \(  x \in [0,\dfrac{v_0^2 \sen(2 \theta)}{g}]  \) que nos da también que ángulo dará máximo alcance.

Spoiler

\( \theta = \dfrac{\pi}{4}  \)

[cerrar]

Suponiendo siempre que la resistencia del aire es despreciable.

23 Abril, 2017, 07:26 pm
Respuesta #3

Samir M.

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Hola.

No se puede obtener analíticamente. Tienes que aproximarlo numéricamente: \( s(t)=\displaystyle \int_0^t\sqrt{1+4u^2}\,\mathrm{d}u=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{t(1+4t^2)}+\dfrac{\mbox{arcsinh}(2t)}{2}\right). \).

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

23 Abril, 2017, 07:42 pm
Respuesta #4

Alejandroide

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No entiendo muy bien lo que me dices  :o :o.
El problema es el siguiente, yo tengo la ecuacion de una parabola de la cual conozco el angulo y la velocidad inicial. Esos datos los tenemos.
Lo que queremos conseguir es otra ecuacion que dandole una distancia (d) me diga en q punto de la ecuacion original de la parabola nos encontramos partiendo de un punto cero (p0, q seria el punto donde disparamos). :banghead:

23 Abril, 2017, 07:50 pm
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

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Cuidado que dices la distancia del camino recorrido, entonces depende la la longitud de la curva, debería decir, dada la distancia horizontal recorrida que altura tiene.


El problema es el siguiente, yo tengo la ecuacion de una parabola de la cual conozco el angulo y la velocidad inicial. Esos datos los tenemos.
Lo que queremos conseguir es otra ecuacion que dandole una distancia (d) me diga en q punto de la ecuacion original de la parabola nos encontramos partiendo de un punto cero (p0, q seria el punto donde disparamos). :banghead:

Sea \(  m  \) la altura donde salío la bala, entonces:

Toma la ecuación:

\( s(x) = (x , \color{red} m \color{black} +  \tan(\theta) \cdot x - (\dfrac{g}{2 \cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}) \cdot x^2)  \)


23 Abril, 2017, 07:54 pm
Respuesta #6

Alejandroide

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Sisi, es q es la distancia de camino recorrido de la curva. La distancia (d) q menciono tiene q referirse al camino recorrido en la trayectoria, no la horizontal ni la vertical.
Mi cerebro, q va a implosionar com este tema, me dice que habra integrales pero es que no se como cogerlo.

23 Abril, 2017, 07:58 pm
Respuesta #7

Juan Pablo Sancho

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Entonces es lo que te dice Ilarrosa o Samir.

 

23 Abril, 2017, 08:09 pm
Respuesta #8

Alejandroide

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Jode... Vaya tela. Ok osea q parametrizacion....
Bueno muchas gracias por las respuestas.
Preguntare en algun tema mas indicado igual, a ver si lo saco.

23 Abril, 2017, 08:15 pm
Respuesta #9

Samir M.

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Jode... Vaya tela. Ok osea q parametrizacion....
Bueno muchas gracias por las respuestas.
Preguntare en algun tema mas indicado igual, a ver si lo saco.

Ya te he respondido en mi respuesta #3. Te he dado la ecuación que relaciona la longitud de arco con el parámetro \( t \) de la curva parametrizada \( y=x^2 \) por \( \gamma : [0,\infty) \to\mathbb{R}^2  \) tal que \( \gamma(t) = (t,t^2) \).

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

23 Abril, 2017, 08:25 pm
Respuesta #10

Alejandroide

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Perdona Samir, pensaba q lo q me dabas era una indicacion. Me supera un poco el tema de la parametrizacion, nunca lo he estudiado,pero igual es el momento.
Basicamente seria igualar la ecuacion q dices a la distancia a estufiar y con el valor de t obtenido ir a la ecuacion de la parabola no? Entiendo

23 Abril, 2017, 09:29 pm
Respuesta #11

Ignacio Larrosa

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Jode... Vaya tela. Ok osea q parametrizacion....
Bueno muchas gracias por las respuestas.
Preguntare en algun tema mas indicado igual, a ver si lo saco.

Veamos .... hallemos la distancia recorrida desde/hasta el vértice de la parábola. Si el trayecto real no termina/empieza en el vértice, tendrás que hallar dos valores y sumarlos o restarlos según que el proyectil pase o no por el vértice.

lo primero que necesitamos es la ecuación de la parábola. Poco nos importa donde esta situado el vértice o que orientación tiene la parábola, pues esto no cambia las longitudes. Por tanto, vamos a considerar la parábola \( y = kx^2 \) y hallar la distancia a lo largo de la parábola desde el vértice \( (0, 0)\textrm{ al punto }(d, kd^2) \). En tu caso, sería \( y = 300x^2 \).

La longitud de una curva \( y = f(x)\textrm{ entre }x = a\textrm{ y }x = b \) se calcula como:

\( L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt[ ]{1 + \left(f'(x)\right)^2}\,dx \)

En nuestro caso, la distancia de \( (0, 0)\textrm{ a }(d, kd^2) \) será:

\( L(d) = \displaystyle\int_{0}^{d}\sqrt[ ]{1 + \left(2kx\right)^2}\,dx= \displaystyle\int_{0}^{d}\sqrt[ ]{1 + 4k^2x^2}\,dx \)

Hagamos el cambio \( 2kx = \senh t \). También puede hacerse si desconoces las funciones hiperbólicas el cambio \( 2kx = \tg t \), pero es más largo y el resultado es menos compacto. Tenemos que

\( dx = \dfrac{1}{2k}\cosh t\,dt \)

\( \sqrt[ ]{1 + \left(2kx\right)^2}= \sqrt[ ]{1 + \senh^2 t} = \cosh t \)

\( 0 = \senh 0, \;\;d' = \textrm{arcsenh} (2kd) \)

\( L(d) = \dfrac{1}{2k}\displaystyle\int_{0}^{d'}\cosh^2\,dt =  \dfrac{1}{2k}\displaystyle\int_{0}^{d'} \dfrac{1}{2}\left(1+\cosh(2t)\right)\,dt= \dfrac{1}{4k}\displaystyle\int_{0}^{d'} 1+\cosh(2t)\,dt \)

\( L(d) = \dfrac{1}{4k}  \left |{t + \dfrac{1}{2} \senh(2t)}\right | _0^{d'} = \dfrac{1}{4k}\left(d' + \dfrac{1}{2}\senh(2d')\right) = \dfrac{1}{4k}\left(\textrm{arcsenh}(2kd) + 2kd\sqrt[ ]{4k^2d^2 + 1}\right) \)

En tu caso, para hallar la distancia desde el punto de disparo hasta el vértice, debemos tomar d = 1, k = 300 y

\( L(1) = \dfrac{1}{1200}\left(\textrm{arcsenh}(600) + 600\sqrt[ ]{360001}\right)\approx{}300.006325 \)

Poco más, como te decía, de lo que supone sustituir la parábola por dos segmentos rectilíneos.

Para hallar la distancia entre dos puntos, distintos del vértice, hallas la distancia de cada uno de ellos al vértice y las sumas o restas según corresponda.


Saludos,




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23 Abril, 2017, 09:39 pm
Respuesta #12

Ignacio Larrosa

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Había olvidado que tu problema era el inverso. Conoces L y quieres averiguar el punto de la parábola. Pues tienes que resolver numéricamente la ecuación para calcular d a partir de la longitud L(d) que conoces. Ese valor de d es la distancia horizontal del vértice al punto en cuestión. Es necesario que calcules primero la distancia a lo largo de la trayectoria desde el punto de disparo al vértice. En cualquier caso, debes tomar el valor absoluto de la diferencia entre la distancia recorrida que tienes y la distancia al vértice, para obtener la distancia horizontal al vértice, a un lado u otro según corresponda.

Saludos,
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