[cristianoceli]

Hola, ¿como puedo demostrar esto?

Suponga \( a_n\longrightarrow{0} \) y \( (b_n) \) acotada. Demostrar que \( a_nb_n\longrightarrow{0} \)

[Juan Pablo Sancho]

Si \( \{b_n\}_{n=1}^{+\infty} \) está acotada entonces existe \(  K \in \mathbb{R}^+  \) tal que para todo \(  n \in \mathbb{N}  \) se tiene \(  |b_n| < K  \)

Entonces dado  \(  \epsilon > 0 \) existirá \(  n_{\epsilon} \in \mathbb{N}  \) tal que si \(  n \geq n_{\epsilon}  \) entonces \(  |a_n| < \dfrac{\epsilon}{K}  \) sigue desde aquí.

[Ignacio Larrosa]

Tenemos que \( |b_n| \leq{}K \;\forall{}n \). Entonces,

\( |a_n·b_n| = |a_n|·|b_n| \leq{} K·|a_n| \)

Aplicas ahora que \( a_n \rightarrow{} 0  \):

\( \forall{}\epsilon > 0 \;\exists{}\,n_0, \forall{}n > n_0 \Rightarrow{}  |a_n| < \epsilon \;\Longrightarrow{} \)

\(  \forall{}n > n_0 \Rightarrow{}  K·|a_n| < \epsilon \;\Rightarrow{}  |a_n| < \dfrac{\epsilon}{K} = \epsilon' \)

Con lo que podemos afirmar que

\( \forall{}\epsilon' > 0 \;\exists{}\,n_0, \forall{}n > n_0 \Rightarrow{}  |a_n·b_n| < \epsilon' \;\Longrightarrow{} \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{a_n·b_n} = 0 \)

Saludos,

(Se me adelantó Juan Pablo ...)

[cristianoceli]

Vale gracias a ambos.

Ahora si comprendo.

Saludos