[Setzer]

Sea T el conjunto de los números reales en el intervalo [0, 1] cuya expansión decimal termina en un número infinito de sietes.
Por ejemplo, los números

0.777777777...
0.277777777...
0.207777777...
0.204777777...

pertenecen a T. Demuestre que T es numerable.

Sé que para probar que es númerable, tengo que encontrar una función inyectiva de T a N(naturales). Y demostrar que es inyectiva.
Pero me cuesta encontrar la ley de la función. Ayuda!

[Ignacio Larrosa]

Si a todos los elementos de T le suprimes todos los sietes, ¿que te queda?

Saludos,

[mathtruco]

Es fácil probar que todo subconjunto de un conjunto numerable es también numerable.

Y como los elementos de \( T \) son todos racionales, esto es \( T\subset\mathbb{Q} \) (donde \( \mathbb{Q} \) es el conjunto de los racionales), y sabemos que \( \mathbb{Q} \) es numerable, concluimos que el conjunto \( T \) es numerable.

[Ignacio Larrosa]

Si a todos los elementos de T le suprimes todos los sietes, ¿que te queda?

Si a un elemento de T le quitas los sietes finales, el 0 y el punto decimal, tienes su imagen en una inyección de T en N. Solo un pequeño ajuste: añadirle tantos sietes como ceros tiene despues del punto decimal y antes del primero que no es cero.

Saludos,

[Setzer]

Si a todos los elementos de T le suprimes todos los sietes, ¿que te queda?

Saludos,

Los naturales. Claro, pero cuál sería la ley de la función, para así demostrar que es inyectiva.

[Setzer]

Es fácil probar que todo subconjunto de un conjunto numerable es también numerable.

Y como los elementos de \( T \) son todos racionales, esto es \( T\subset\mathbb{Q} \) (donde \( \mathbb{Q} \) es el conjunto de los racionales), y sabemos que \( \mathbb{Q} \) es numerable, concluimos que el conjunto \( T \) es numerable.

¿No estarías asumiendo que los elementos de T son todos racionales? ¿No habría que demostrar eso?

[sugata]

Todo número periódico es racional.
Imagino que se presupone.

[Ignacio Larrosa]

Si a todos los elementos de T le suprimes todos los sietes, ¿que te queda?

Saludos,

Los naturales. Claro, pero cuál sería la ley de la función, para así demostrar que es inyectiva.

No se si viste mi respuesta inmediatamente anterior a esta tuya. Lo que te propongo es la siguiente aplicación inyectiva f, que no tiene una fórmula analítica expresa, pero tampoco la necesita:

1. Dado un \( t \in{}T \), le eliminas los sietes finales de su representación decimal, con lo que acabará en un dígito distinto de 7.
2. Eliminas el 0 inicial y el punto decimal.
3. Para cada cero inicial, lo eliminas y añades un 7 a la derecha.

Obtienes así la representación de un número natural distinto para cada elemento de \( T \), por lo que has definido una inyección \( f: T \rightarrow{}\mathbb{N} \)

Si partimos de que los elementos de T son racionales por tener una representación decimal periódica, entonces ya si que no hay nada que añadir ...

Saludos,


No es la única, ni quizás la más sencilla, pero me resulto llamativa por derivar directamente del enunciado del problema.

[feriva]

Hola.

La cuestión está más que suficientemente contestada con lo ya explicado por mathtruco e ilarrosa, pero por añadir algo:

Con cualquier elemnto de T podemos hacer esto

\( 0,2777...=0,2+0,0777...=0,2+\dfrac{777...}{1000...}
  \)

\( 777...\in\mathbb{N}
  \) pues \( 7|777...
  \) (7 lo divide) y, por tanto, no puede ser irracional, quedando solamente la posibilidad de ser racional. Del mismo modo, 1000... es divisible entre 10 y ocurre igual.

Normalmente, por lo que tengo visto (durante años) en el foro, en este tipo de problemas basta con decir lo que ponía mathtruco en su respuesta, no suele ser necesario justificar más, tal y como también ha sugerido Sugata.

Saludos.