Parece fácil, pero no estoy seguro cómo escribir matemáticamente que (2, 0) no pertenece a el conjunto S que voy a enunciar.
Se define inductivamente el conjunto S como el menor conjunto tal que:
I. \( (0, 0)\in{S} \)
II. Si \( (a,b)\in{S} \) entonces \( (a,b+1)\in{S} \)
III. Si \( (a,b)\in{S} \) entonces \( (a+1,b+1)\in{S} \)
IV. Si \( (a,b)\in{S} \) entonces \( (a+2,b+1)\in{S} \)
a) Enuncie el principio de inducción primitiva para S.
b) Demuestre que para todo \( (a,b)\in{S} \), \( a\leq{2b} \).
c) Demuestre que \( (4,2)\in{S} \) y \( (2,0)\not\in{S} \).
Tengo problemas demostrando que \( (2,0)\not\in{S} \). Necesito ayuda con eso, pero además voy a poner lo que ya hice. Si alguien me puede decir si está bien, le agradezco mucho.
a)
Sea P una propiedad que verifica:
P((0,0)) se cumple.
P((a,b)) se cumple, entonces P((a,b+1)), P((a+1,b+1)), P((a+2,b+1)) se cumplen.
entonces P((x,y)) se cumple para todo \( (x,y)\in{S} \).
b)
Caso base) \( 0\leq{2.(0)} \), \( a\leq{2b} \) Verdadero.
1)
\( a\leq{2(b+1)} \)
\( a\leq{2b+2} \)
\( a\leq{2b} \) Verdadero.
2)
\( a+1\leq{2(b+1)} \)
\( a+1\leq{2b+2} \)
\( a\leq{2b+1} \)
\( a\leq{2b} \) Verdadero.
3)
\( a+2\leq{2(b+1)} \)
\( a+2\leq{2b+2} \)
\( a+2\leq{2b+2} \)
\( a\leq{2b} \) Verdadero.
Por 1,2,3 y caso base, queda demostrado que \( a\leq{2b}, \forall{(a,b)\in{S}} \).
c) \( (4,2)\in{S} \)
Tomo (0,0), aplico (a+2,b+1) 2 veces, entonces tenemos
\( (0,0)\in{S}\Rightarrow{}(2,1)\in{S}\Rightarrow{}(4,2)\in{S} \).
