Autor Tema: Idea de intervalos [ti,ti+1)

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31 Marzo, 2017, 12:19 am
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pierrot

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Definamos una sucesión de tiempos \( (t_i)_{i\in \mathbb{N}} \) como sigue:

\( \left\{\begin{array}{l}t_0=0\\t_1=\frac{L-x_0}{v_0}\\t_n=t_{n-1}+\frac{L}{\alpha^{n-1}v_0},\quad n\geq 2\end{array}\right. \)

Ahora consideremos los intervalos de tiempo de la forma \( T_i=[t_i,t_{i+1}) \). Se cumple lo siguiente:

\( x(t)=\left\{\begin{array}{lll}x_0+v_0t &\mbox{si} & t\in T_0=\left[0,\frac{L-x_0}{v_0}\right)\\ L-\alpha^{2k-1}v_0(t-t_{2k-1}) &\mbox{si} & t\in T_{2k-1}=\left[t_{2k-1},t_{2k}\right),k\geq 1\\ \alpha^{2k}v_0(t-t_{2k}) &\mbox{si} & t\in \left[t_{2k},t_{2k+1}\right),k\geq 1\end{array}\right. \)

Por lo tanto, si queremos computar \( x(t) \) para un \( t \) fijo, tenemos que determinar a qué intervalo de tiempo \( T_i \) pertenece este valor de \( t \). Para ello, observemos que:

\( \displaystyle\begin{align*}
t_n&=\frac{L}{\alpha^0v_0}+\frac{L}{\alpha^1v_0}+\frac{L}{\alpha^2v_0}+\cdots+\frac{L}{\alpha^{n-1}v_0}-\frac{x_0}{v_0}\\
&\vdots\\
&=\frac{L}{v_0}\left(\frac{1-\alpha^n}{(1-\alpha)\alpha^{n-1}}-\frac{x_0}{L}\right),\quad n\geq 1
\end{align*} \)

Luego, dado un \( t \) fijo, nos interesa calcular el máximo \( n \) tal que \( t_n\leq t \). Si encontramos dicho \( t_n \), sabemos que \( t\in T_n=[t_n,t_{n+1}) \) y podemos saber qué fórmula aplicar en la definición por partes de \( x(t) \). La inecuación

\( \displaystyle t\geq \frac{L}{v_0}\left(\frac{1-\alpha^n}{(1-\alpha)\alpha^{n-1}}-\frac{x_0}{L}\right) \)

es equivalente a

\( \displaystyle n\leq 1-\frac{\displaystyle \ln\left(\alpha +\frac{(x_0+v_0t)}{L}(1-\alpha)\right)}{\ln\alpha} \)

De ahí se concluye que el máximo de los \( n \) que verifican la propiedad anterior es:

\( \displaystyle n=\left\lfloor 1-\frac{\displaystyle \ln\left(\alpha +\frac{(x_0+v_0t)}{L}(1-\alpha)\right)}{\ln\alpha}\right\rfloor \)

Ahora para calcular \( x(t) \) hay que fijarse si el \( n \) anterior es par o impar, y aplicar la fórmula correspondiente.
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