[Proyecto_dos]

Hola,


Esta utilización del discriminante de las ecuaciónes cuadráticas o bicuadráticas para analizar posibles resultados de ecuaciones diofánticas también se puede hacer utilizando el discriminante de las ecuaciones cúbicas; aunque con resultados más limitados. Pongo un ejemplo:


Supongamos para  \( a,b,c \)  enteros;  \( a,b \)  coprimos,  " \( a \) "  par y  \( n,m \)  naturales y " \( n \) "  mayor que 2; que:  \( \pmb{4a^{3n}=c^{2m}+27b^{2n}} \)

Si:  \( (c^m)^2=\Delta \) , para \( \Delta=-4C^3-27D^2 \) , el discriminante de una ecuación (mónica) cúbica sin término cuadrático de coeficientes y resultado enteros:

\( d^3+Cd+D=0 \) .

Siempre podrá decirse que se trata de:

\( d^3-a^nd-b^n=0\,\,\wedge\,\,\Delta=-4(-a^n)^3-27(-b^n)^2 \)

Suponemos que  " \( d \) "  es impar.

Entonces:

\( d(d^2-a^n)=b^n \)

Si llamo:  \( e=d^2-a^n \)

Como  " \( d \) "  divide á  \( b^n \) ;  es coprimo con  \( a^n \)  y, por tanto, con  " \( e \) "

Luego:  \( b^n=d\,e\,\,\wedge\,\,d=d_1^n\,\,\wedge\,\,e=e_1^n \)

Pero entonces tendría que:

\( e_1^n=d_1^{2n}-a^n \)

Lo que sabemos que para  \( n\,>\,2 \)  no es cierto para  \( a,d_1,e_1 \)  enteros.


Un saludo,

[Luis Fuentes]

Hola

Supongamos para  \( a,b,c \)  enteros;  \( a,b \)  coprimos,  " \( a \) "  par y  \( n,m \)  naturales y " \( n \) "  mayor que 2; que:  \( \pmb{4a^{3n}=c^{2m}+27b^{2n}} \)

Si:  \( (c^m)^2=\Delta \) , para \( \Delta=-4C^3-27D^2 \) , el discriminante de una ecuación (mónica) cúbica sin término cuadrático de coeficientes y resultado enteros:

\( d^3+Cd+D=0 \) .

Siempre podrá decirse que se trata de:

\( d^3-a^nd-b^n=0\,\,\wedge\,\,\Delta=-4(-a^n)^3-27(-b^n)^2 \)

Suponemos que  " \( d \) "  es impar.

Pero ahí no sé como estás razonando. Que el discriminante de una cúbica sea un cuadrado perfecto no garantiza que sus soluciones sean enteras.

Saludos.

[Proyecto_dos]

¡Vaya! pues sí, no lo garantiza completamente; me he precipitado. El razonamiento (de ser posible) tendría que ser más complicado

Sdos

[Proyecto_dos]

Hola,


Lo que sigue es un poco más complicado que en otras ocasiones; pero siempre dentro del rango de lo trivial en que me muevo. Es sólo un "divertimento". Espero no haberme equivocado y que os lo paséis tan bien como yo encontrándole sentido.


Se trata de demostrar que no es posible:  \( (3^2x^3)^3+2(2y^2)^3=(z^2)^3 \) ;  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos 2 a 2 ý  " \( y \) "  par.

Para ello voy a utilizar el caso general de las ecuaciones cúbicas según el Método de Tartaglia (Cardano):


Si:  \( w^3 + a_1 w^2 + a_2w + a_3 = 0 \)

Y :  \( Q=\dfrac{3a_2-a_1^2}{9} \)   \( \wedge \)   \( R=\dfrac{9a_1a_2-27a_3-2a_1^3}{54} \)

Y :  \( S_1= \sqrt[3]{ R + \sqrt{Q^3+R^2}} \)   \( \wedge \)   \( S_2= \sqrt[3]{ R - \sqrt{Q^3+R^2}} \)

Entonces:

\( w_1 = S_1 + S_2 - \dfrac{a_1}{3} \)

\( w_2 = -\dfrac{S_1+S_2}{2} - \dfrac{a_1}{3} + \dfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2) \)

\( w_3 = -\dfrac{S_1+S_2}{2} - \cfrac{a_1}{3} - \cfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2) \)


Empecemos:

Tenemos que:  \( 729x^9+16y^6=z^6 \)

Luego:

\( 729x^9=z^6-16y^6 \)

\( 729x^9=(z^3+4y^3)(z^3-4y^3) \)

Como:  \( z^3=(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}} \)

\( 729x^9=((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}+4y^3)((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}-4y^3) \)

Como:  \( 4y^3\,\wedge\,z^3 \)  son coprimos; entonces:

\( (9x^3)^3=((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}+4y^3)((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}-4y^3) \)

Y :

\( A^3=(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}+4y^3 \)

\( B^3=(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}-4y^3 \)

Para  \( A,B \)  enteros.

Supongamos ahora esta ecuación cúbica (en  \( w \))  sin término cuadrático:

\( w^3+27x^3w-8y^3=0 \)

Probaremos que tiene al menos una raíz entera, que será la que utilicemos y que por lo tanto siempre podrá suponerse dicha ecuación dada la ecuación diofántica de partida.

Procedemos según el método de Tartaglia:

\( R=\dfrac{9a_1a_2-27a_3-2a_1^3}{54}=\dfrac{-27a_3}{54}=\dfrac{-27(-8y^3)}{54}=4y^3 \)

\( Q=\dfrac{3a_2-a_1^2}{9}=\dfrac{3a_2}{9}=\dfrac{3(27x^3)}{9}=9x^3 \)

\( S_1^3= R + (Q^3+R^2)^{\frac{1}{2}}=4y^3+(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}=A^3 \)

\( S_2^3= R - (Q^3+R^2)^{\frac{1}{2}}=4y^3-(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}=-B^3 \)

Luego:  \( w_1 = S_1 + S_2 - \dfrac{a_1}{3}=A-B \)    ( \( w_1=\,Par \) )

De esta forma:  \( w_1^3+27x^3w_1-8y^3=0 \)  será una ecuación de resultado entero que siempre voy a poder deducir.

Y operando:

\( w_1(w_1^2+27x^3)=8y^3 \)

Llamo:  \( v=w_1^2+27x^3 \)

Como  " \( w_1 \) "  divide á  \( 8y^3 \) ;  no divide á  \( 27x^3 \) ,  su coprimo, siendo por tanto coprimo con  " \( v \) ".

Luego:

\( 8y^3=w_1\cdot{v} \)  \( \wedge \)  \( w_1=w_2^3 \)  \( \wedge \) \( v=v_1^3 \)

Pero entonces:  \( v_1^3=(w_2^2)^3+27x^3 \)

Lo que sabemos que no es posible para  \( 3x,v_1,w_2^2 \)  enteros.


Un saludo,

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que sigue es un poco más complicado que en otras ocasiones; pero siempre dentro del rango de lo trivial en que me muevo. Es sólo un "divertimento". Espero no haberme equivocado y que os lo paséis tan bien como yo encontrándole sentido.

Vaya por delante: creo que está bien y es muy ingenioso. 

Ahora dos comentarios (uno de ellos en mi empeño por "evitar" tu método del discriminante: ¡no te enfades conmigo!).

COMENTARIO 1.

Desde aquí:

Como:  \( 4y^3\,\wedge\,z^3 \)  son coprimos; entonces:

\( (9x^3)^3=((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}+4y^3)((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}-4y^3) \) (*)

Y :

\( A^3=(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}+4y^3 \)   (1)

\( B^3=(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}-4y^3 \)    (2)

Para  \( A,B \)  enteros.

Fíjate que de (*) tienes que \( AB=9x^3 \). Restando (1) y (2):

\( A^3-B^3=8y^3 \)
\( (A-B)(A^2+AB+B^2)=8y^3 \)
\( (A-B)((A-B)^2+3AB)=8y^3 \)
\( (A-B)((A-B)^2+3AB)=8y^3 \)
\( (A-B)((A-B)^2+27x^3)=8y^3 \)

Llama \( w_1=A-B \) y tienes lo mismo que tu obtuviste con esa ecuación de tercer grado "ad hoc".


COMENTARIO 2.

Desde el principio si queremos ver que:

\( 729x^9+16y^6=z^6 \)

no tiene soluciones coprimas, si trabajamos módulo \( 9 \), la ecuación queda:

\( 7y^6=z^6 \)

Pero módulo \( 9 \) las potencias sextas son \( 0 \) (si el número es múltiplo de \( 3 \)) o \( 1 \). Como los números son coprimos no son ambos múltiplos de tres y así no tiene solución.

Saludos.

[Proyecto_dos]

¡Muchas gracias el_manco!

Tomo nota de tus comentarios, muy interesantes. Naturalmente si algo es esa ecuación de tercer grado es AD HOC

Así dicho no me enfado claro. La lástima es que no aporte casi nada y sea tan fácil de resolver por otros caminos. En fin ya se me está acabando la gasolina con este tema..; pero ha sido un placer el transitar por las cúbicas. Debió de sentirse Dios por un día (ó dos..) Tartaglia al encontrar un método para resolverlas.

Un saludo,

[Proyecto_dos]

Hola, me gustaría saber si esto que pongo a continuación puede considerarse correcto o existe otra manera más sencilla de hacerlo.


Supongamos  \( x,y,z \)  enteros, coprimos 2 a 2 ý  " \( x \) "  par. Y que:  \( x(x^2+3)+y^3=z^3 \)

Puedo entender entonces que estamos ante una ecuación de tercer grado en " x " tal que, al menos, posee una raíz entera

Luego:  \( x^3+3x+y^3-z^3=0 \)   ( Del caso general: \( x^3 + a_1 x^2 + a_2x + a_3 = 0 \) )

Y opero utilizando el método de Tartaglia:

\( R=\dfrac{9a_1a_2-27a_3-2a_1^3}{54}=\dfrac{-27a_3}{54}=\dfrac{-27(y^3-z^3)}{54}=-\displaystyle\frac{y^3-z^3}{2} \)

\( Q=\dfrac{3a_2-a_1^2}{9}=\dfrac{3a_2}{9}=\dfrac{3(3)}{9}=1 \)

\( S_1^3= R + \sqrt[ ]{Q^3+R^2}=R+\sqrt[ ]{1+R^2} \)

\( S_2^3= R - \sqrt[ ]{Q^3+R^2}=R-\sqrt[ ]{1+R^2} \)

Pero como yo sé que no existe un cuadrado entero a la distancia de una unidad de otro; entonces encadeno las siguientes consecuencias:

\( S_1^3= R + (Irracional) \)  \( \Rightarrow{} \)  \( S_1=\,Irracional \)

\( S_2^3= R - (Irracional) \)  \( \Rightarrow{} \)  \( S_2=\,Irracional \)

\( x_1 =\,Irracional\,\, +\,\,Irracional\,\, - \dfrac{a_1}{3} \)

\( x_2 = -\dfrac{\,Irracional\,\,+\,\,Irracional}{2} - \dfrac{a_1}{3} + \dfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2) \)

\( x_3 = -\dfrac{\,Irracional\,\,+\,\,Irracional}{2} - \cfrac{a_1}{3} - \cfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2) \)

Y :

Ni  \( x_1 \)  Ni  \( x_2 \)  Ni  \( x_3 \)  serán enteros. Lo que contradeciría el punto de partida.


Un saludo,

[Luis Fuentes]

Hola

\( x_1 =\,Irracional\,\, +\,\,Irracional\,\, - \dfrac{a_1}{3} \)

\( x_2 = -\dfrac{\,Irracional\,\,+\,\,Irracional}{2} - \dfrac{a_1}{3} + \dfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2) \)

\( x_3 = -\dfrac{\,Irracional\,\,+\,\,Irracional}{2} - \cfrac{a_1}{3} - \cfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2) \)

Y :

Ni  \( x_1 \)  Ni  \( x_2 \)  Ni  \( x_3 \)  serán enteros. Lo que contradeciría el punto de partida.

Está mal; la suma de irracionales podría ser racional.

Además si te fijas no usas en ningún sitio que \( y,z \) sean cubos. Es decir con el mismo razonamiento probarías  que:

\( \color{red}x^3\color{black}+3x+n=0 \)

no tiene soluciones enteras lo cual es obviamente falso.

Saludos.

CORREGIDO

[Proyecto_dos]

Hola el_manco,


Está completamente mal sí. Lo primero es que no lo sabía pero sobre todo lo segundo es un error principal; nada tiene sentido en este contexto si no uso que las variables son cúbicas


Un saludo,