Autor Tema: Integrales dobles (coordenadas polares)

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27 Marzo, 2017, 10:35 pm
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enrique-akatsuki

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Calcular \( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{W}^{} \)\( \displaystyle\frac{1}{(x^2+y^2)^2} \)\( dxdy \) Donde \( W \) esta determinado por las condiciones \( x^2 + y^2 \)\( \leq{1} \)  y  \( x + y  \)\( \geq{1} \)


La grafique y queda de esta manera:



Y cambiando la funcion a coordenadas polares queda asi:

\( \displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi }{2}}\displaystyle\int_{0}^{1} \)\( \displaystyle\frac{r}{(r^2)^2} \)\( drd \)\(  \theta \)


Pero al hacer la integral y evaluando a \( r \) obtengo \( \infty \)

Me podrían ayudar a ver en  donde esta mi error, de antemano gracias


27 Marzo, 2017, 10:50 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

El error es que para la región, el límite inferior de r depende del ángulo.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

28 Marzo, 2017, 12:35 am
Respuesta #2

delmar

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Hola

El error esta en los lìmites del primer integral.

Primero integras respecto a r con \( \theta  \) constante. Es decir integras la función a lo largo de un segmento que empieza en el origen y termina en la circunferencia, es decir a lo largo de un radio.Pero para la región W, r varía desde la intersección del radio con la recta \( x+y=1 \) hasta la intersección del radio con la circunferencia. Es decir varía desde \( rcos (\theta)+r sen (\theta)=1\Rightarrow{r=\displaystyle\frac{1}{sen(\theta)+cos (\theta)}} \) hasta \( r=1 \). Luego la integral quedaría :
\( \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \ \displaystyle\int_{1/(sen(\theta)+cos(\theta))}^{1} \ \displaystyle\frac{1}{r^3} \ dr \ d \theta \)

Saludos

29 Marzo, 2017, 04:26 am
Respuesta #3

enrique-akatsuki

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Gracias delmar por ayudarme y ver el error que cometí, me sirvió mucho