Sea \( E \) el punto en que se cortan las diagonales. La perpendicular al lado \( CD\textrm{ por }E,\textrm{ con pie en }G,\textrm{ corta al lado }AB\textrm{ en un punto }F \). Veamos que es precisamente el punto medio del lado \( AB \).
Por ser inscritos que abarcan el mismo arco, se tiene que \( \angle FBE = \angle ABD = \angle ACD \)
Por ser ambos complementarios del \( \angle EDC, \angle ACD = \angle DEG \)
Por ser opuestos por el vértice, \( \angle DEG = \angle FEB \)
Por tanto, \( \angle FBE = \angle FEB \Rightarrow{}\triangle EFB\; isósceles \Rightarrow{} \overline{EF} = \overline{FB} \)
De la misma forma se ve que \( \overline{EF} = \overline{AF}\textrm{ y por tanto }F\textrm{ es el punto medio de }\overline{AB} \)
Para las otras tres líneas se demuestra de idéntica forma.
Las rectas perpendiculares a un lado de un cuadrilátero y que pasan por el punto medio del opuesto se llaman
maltitudes. En cualquier cuadrilátero inscrito, las cuatro maltitudes concurren en el
Anticentro del cuadrilátero, que es el simétrico del
Circuncentro en el
Baricentro:
Maltitudes y anticentro de un cuadrilátero cíclico. Si además el cuadrilátero es ortodiagonal, como se ha visto, el anticentro coincide con el punto en que se cortan las diagonales.
Saludos,
