Autor Tema: Bisectriz interior

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

18 Marzo, 2017, 10:08 am
Leído 774 veces

Michel

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,998
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Demostrar que la bisectriz interior de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacntes.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

30 Marzo, 2017, 11:54 am
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,270
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Actividades con GeoGebra


La bisectriz exterior, perpendicular a la interior, también determina en el lado opuesto segmentos proporcionales a los lados adyacentes. Si la bisectriz exterior del \( \angle A\textrm{ corta en un punto }D'\textrm{ a la prolongación del lado }BC \), se tiene que:

\( D'B = \dfrac{c·a}{|b - c|}, D'C = \dfrac{b·a}{|b - c|} \)

La demostración es muy parecida a la anterior. Si \( b = c \), la bisectriz exterior es paralela al lado opuesto y no existe \( D' \).

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

30 Marzo, 2017, 01:04 pm
Respuesta #2

Michel

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,998
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Otra forma, haciendo uso de áreas.

Sea AD la bisectriz interior del ángulo A del triángulo ABC.

Se sabe que las áreas de dos triángulos de igual base son proporcionales a las alturas y las áreas de dos triángulos de igual altura son proporcionales a las bases.


Los triángulos ABD y ADC, tomando como bases  BD y DH, tienen la misma altura AH: (ABD)/(ADC)=BD/DC

En los mismos triángulos, tomando como bases AB y AC, las alturas h y h' son iguales, porque todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de éste.: (ABD)/(ADC)=AB/AC.

Entonces BD/DC=AB/AC.


Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

30 Marzo, 2017, 01:14 pm
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,270
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Actividades con GeoGebra
Otra forma, haciendo uso de áreas.

Sea AD la bisectriz interior del ángulo A del triángulo ABC.

Se sabe que las áreas de dos triángulos de igual base son proporcionales a las alturas y las áreas de dos triángulos de igual altura son proporcionales a las bases.


Los triángulos ABD y ADC, tomando como bases  BD y DH, tienen la misma altura AH: (ABD)/(ADC)=BD/DC

Eso debe ser un error de tecleado, ahí se trata de tomar como bases BD y DC

En los mismos triángulos, tomando como bases AB y AC, las alturas h y h' son iguales, porque todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de éste.: (ABD)/(ADC)=AB/AC.

Entonces BD/DC=AB/AC.

 :aplauso:
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)