[Proyecto_dos]

Hola,

No exactamente tal como lo expresas; no podemos asegurar (no al menos con ese argumento) que sea entero. El cociente entre dos números pares podría no serlo.

Podemos afirmar que es entero si \( A=1 \).

Efectivamente, en ese caso "A" es 1 y no por casualidad

[Proyecto_dos]

Hola,


A ver qué os parece esta variante. Me temo que en ésta no hay contraejemplos…   


Dados  \( a,b \)  enteros, coprimos ý  \( b \)  par. Sostengo que si  "\( \alpha \)"  es entero; no es posible:  \( \pmb{\alpha^{2n}\,=\,a^4+b^4+3a^2b^2} \)


Demostración:


Tenemos:  \( \alpha^{2n}=(a^2+b^2)^2+a^2b^2\,\,\wedge\,\,\alpha^{2n}-(a^2+b^2)^2=a^2b^2 \) .  Al ser  \( a^2b^2 \)  el resultado de " \( Impar^2-Impar^2 \) " ,  deberá ser par como mínimo de magnitud 8; por lo que  "\( b \)"  deberá ser par como mínimo de magnitud 4.

Si  \( \alpha^{2n}=\Delta \) ,  para  \( \Delta=B^2-4AC \) ,  el discriminante de una ecuación bicuadrática de coeficientes y resultado enteros:  \( Ac^4+Bc^2+C=0 \) ;  siempre podrá decirse que se trata de:  \( c^4+(a^2+b^2)c^2-\dfrac{a^2b^2}{4}=0\,\,\wedge\,\,\Delta=(a^2+b^2)^2-4(1)(\dfrac{-a^2b^2}{4}) \) .  Supongamos, sin perder generalidad, que  "\( c \)"  es impar; dado que  \( B\,\wedge\,\sqrt[ ]{\Delta} \)  son impares.

Luego:

\( c^2(c^2+a^2+b^2)=\dfrac{a^2b^2}{4}\,\,\wedge\,\,\displaystyle\frac{a^2b^2}{4c^2}=c^2+a^2+b^2 \)

Si llamo ahora:  \( d^2=c^2+a^2+b^2 \) ,  tendré:

\( a^2b^2=4c^2d^2\quad\wedge\quad d^2-c^2=a^2+b^2 \)

Como  \( c^2 \)  divide a  \( a^2b^2 \) ,  no puede dividir a  \( a^2+b^2 \) ,  que es coprimo con  \( a^2b^2 \) ;  luego no puede dividir a  \( d^2 \) .  Por otra parte como  \( d^2 \)  es mayor que  \( b^2 \)  y  \( a^2 \) , y  \( a^2 \)  debe ser mayor en correspondencia que  \( c^2 \) ;  entonces no pierdo generalidad si establezco que:

\( a=a_1a_2 \)

\( b=b_1b_2 \)

\( c=a_1b_1 \)

\( d=a_2\color{red}(2b_2)\color{black} \)

, considerando, por ejemplo, á  \( b_2 \)  como el factor par de  \( \color{red}d\color{black} \)

Luego si:  \( d^2-b^2\,=\,a^2+c^2 \) ;  entonces:

\( a_2^2\color{red}4b_{2}^2\color{black}-b_1^2\color{red}4b_{2}^2\color{black}=a_1^2a_2^2+a_1^2b_1^2 \)

\( \color{red}4b_{2}^2\color{black}(a_2^2-b_1^2)=a_1^2(a_2^2+b_1^2) \)

Y :  \( a_1^2\mid a_2^2-b_1^2\,\,\wedge\,\,\color{red}4b_{2}^2\color{black}\,\mid\,a_2^2+b_1^2 \)

De esta manera:

\( a_2^2-b_1^2=ka_1^2 \)

\( a_2^2+b_1^2=\color{red}4kb_{2}^2\color{black} \)  \( \wedge \)

(NO): \( \color{red}4k^2a_1^2b_{2}^2\color{black}=a_2^4-b_1^4 \) 

Pero esto equivale a decir que un cuadrado entero puede ser el resultado de la diferencia entre dos cuartas potencias enteras y coprimas entre sí; que es una generalización del caso n = 4 del UTF que sabemos que es falso.


Un saludo,                  NO ES CORRECTO. Ver Respuestas hasta 31

[Proyecto_dos]

Hola,


Pongo a continuación otra manera de buscar el absurdo por descenso infinito para el caso n = 4 del UTF sin recurrir al hecho de obtener 2 ternas pitagóricas solución del caso n = 2 con 2 elementos en común.

Parto como siempre de que es cierto:  \( x^4+y^4=z^4 \) ;  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos 2 a 2 ý  \( x \) ,  por ejemplo, par. Y que si  \( Y=y^2 \) ,  entonces  \( Y^2 \)  es el menor cuadrado impar posible que cumple que:  \( Y^2=z^4-x^4 \) .

Tenemos que:  \( x^4=z^4-Y^2 \)  \( \wedge \)  \( x^4=(z^2+Y)(z^2-Y) \) 

Como  \( x \)  es par ý  \( (z^2+Y) \)  es par como mínimo de magnitud 2; supongamos sin perder generalidad que  \( (z^2-Y) \)  es par de magnitud 8 y entonces:

\( z^2+Y=2v \)  \( \wedge \)  \( z^2-Y=8w \)

Sustituyendo tendremos:

\( z^2=v+4w \)  \( \wedge \)  \( Y=v-4w \) ;  donde  \( v,w \)  no pueden tener un factor en común porque si no lo tendrían  \( Y,z \)  ý como  \( x^4=z^4-Y^2=(v+4w)^2-(v-4w)^2 \) ;  entonces:  \( x^4=16vw \)  ý  \( v,w \)  serán cuartas potencias:  \( v_1^4,w_1^4 \) .  Pero entonces:  \( z^2=v_1^4+4w_1^4 \)  \( \wedge \)  \( \dfrac{z^2-(v_1^2)^2}{4}=w_1^4 \) ;  ý si suponemos que  \( v_1 \)  es impar, el numerador será par como mínimo de magnitud 8 ; luego  \(  w_1^4 \)  será par ý  "\( x \)", como mínimo, par de magnitud 4 de una manera o de la otra.

Con este dato ahora ya puedo razonar como sigue:

\( \dfrac{x^4+Y^2}{16}=\dfrac{z^4}{16} \)

\( (\dfrac{x^2}{4})^2+(\dfrac{Y}{4})^2=(\dfrac{z^2}{4})^2 \)

Luego serán soluciones del caso n = 2:

\( \dfrac{x^2}{4}=\dfrac{2ab}{4} \)

\( \dfrac{Y}{4}=\dfrac{a^2-b^2}{4} \)

\( \dfrac{z^2}{4}=\dfrac{a^2+b^2}{4} \)

, para  \( a,b \)  coprimos y  \( b \) , por ejemplo, par.

Entonces:

\( \dfrac{x^2}{4}=(\dfrac{x}{2})^2=\dfrac{ab}{2} \)  \( \Rightarrow \)  \( a=a_1^2\,\,\wedge\,\,\dfrac{b}{2}=b_1^2 \)

Y sustituyendo:

\( \dfrac{z^2}{4}=\dfrac{a_1^4+4b_1^4}{4} \)  \( \Rightarrow \)  \( (\dfrac{z}{2})^2=(\dfrac{a_1^2}{2})^2+(\dfrac{2b_1^2}{2})^2 \)

Siendo soluciones del caso n = 2:

\( \dfrac{2b_1^2}{2}=\dfrac{2cd}{2} \)

\( \dfrac{a_1^2}{2}=\dfrac{c^2-d^2}{2} \)

\( \dfrac{z}{2}=\dfrac{c^2+d^2}{2} \)

, para  \( c,d \)  coprimos, uno de ellos par.

Donde:

\( b_1^2=cd \)  \( \Rightarrow \)  \( c=c_1^2\,\,\wedge\,\,d=d_1^2 \)

Y sustituyendo:

\( \dfrac{a_1^2}{2}=\dfrac{c_1^4-d_1^4}{2} \)  \( \wedge \)  \( a_1^2=c_1^4-d_1^4 \)

Pero  \( a_1^2\,<\,Y^2 \) y cumple también ser un cuadrado impar resultado de una diferencia entre 2 cuartas potencias coprimas entre sí; lo que contradice de donde partimos.


Un saludo,

[Luis Fuentes]

Hola

Tenemos:  \( \alpha^{2n}=(a^2+b^2)^2+a^2b^2\,\,\wedge\,\,\alpha^{2n}-(a^2+b^2)^2=a^2b^2 \) .  Al ser  \( a^2b^2 \)  el resultado de " \( Impar^2-Impar^2 \) " ,  deberá ser par como mínimo de magnitud 8; por lo que  "\( b \)"  deberá ser par como mínimo de magnitud 4.

Si  \( \alpha^{2n}=\Delta \) ,  para  \( \Delta=B^2-4AC \) ,  el discriminante de una ecuación bicuadrática de coeficientes y resultado enteros:  \( Ac^4+Bc^2+C=0 \) ;  siempre podrá decirse que se trata de:  \( c^4+(a^2+b^2)c^2-\dfrac{a^2b^2}{4}=0\,\,\wedge\,\,\Delta=(a^2+b^2)^2-4(1)(\dfrac{-a^2b^2}{4}) \) .  Supongamos, sin perder generalidad, que  "\( c \)"  es impar; dado que  \( B\,\wedge\,\sqrt[ ]{\Delta} \)  son impares.

No veo claro que \( c \) tenga que ser impar; y en ese caso no me queda claro ese "sin perder generalidad".

Luego:

\( c^2(c^2+a^2+b^2)=\dfrac{a^2b^2}{4}\,\,\wedge\,\,\displaystyle\frac{a^2b^2}{4c^2}=c^2+a^2+b^2 \)

Si llamo ahora:  \( d^2=c^2+a^2+b^2 \) ,  tendré:

\( a^2b^2=4c^2d^2\quad\wedge\quad d^2-c^2=a^2+b^2 \)

Para llegar a esto me parece mucho más natural que uses simplemente que \( (\alpha)^n=(a^2+b^2)^2+(ab)^2 \) es una terna pitagórica y por tanto:

\( ab=2cd \)
\( a^2+b^2=d^2-c^2 \)

con \( d,c \) coprimos.

Como  \( c^2 \)  divide a  \( a^2b^2 \) ,  no puede dividir a  \( a^2+b^2 \) ,  que es coprimo con  \( a^2b^2 \) ;  luego no puede dividir a  \( d^2 \) .  Por otra parte como  \( d^2 \)  es mayor que  \( b^2 \)  y  \( a^2 \) , y  \( a^2 \)  debe ser mayor en correspondencia que  \( c^2 \) ;  entonces no pierdo generalidad si establezco que:

\( a=a_1a_2 \)

\( b=b_1b_2 \)

\( c=a_1b_1 \)

\( d=a_2b_2 \)

Tal como lo has escrito no es cierto que \( ab=2cd \) (tendrías \( ab=cd \)). Revísalo.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Pongo a continuación otra manera de buscar el absurdo por descenso infinito para el caso n = 4 del UTF sin recurrir al hecho de obtener 2 ternas pitagóricas solución del caso n = 2 con 2 elementos en común.

La clásica ya no lo usa. No puedo evitar que todo esto me parece dar vueltas sobre lo mismo.

No la he mirado 100% detalle; pero no entiendo para que pones y arrastras fracciones que continuamente puedes simplicar. Por ejemplo cuando pones:

\( (\dfrac{x^2}{4})^2+(\dfrac{Y}{4})^2=(\dfrac{z^2}{4})^2 \)

Luego serán soluciones del caso n = 2:

\( \dfrac{x^2}{4}=\dfrac{2ab}{4} \)

\( \dfrac{Y}{4}=\dfrac{a^2-b^2}{4} \)

\( \dfrac{z^2}{4}=\dfrac{a^2+b^2}{4} \)

¿Por qué escribes esos denominadores 4?.

Saludos.

[Proyecto_dos]

Hola el_manco, gracias por responder

No veo claro que \( c \) tenga que ser impar; y en ese caso no me queda claro ese "sin perder generalidad".

Si " c " fuera par, entonces  " d " sería impar y el resultado sería el mismo; por eso digo "sin perder generalidad"

Para llegar a esto me parece mucho más natural que uses simplemente que \( (\alpha)^n=(a^2+b^2)^2+(ab)^2 \) es una terna pitagórica y por tanto:

\( ab=2cd \)
\( a^2+b^2=d^2-c^2 \)

con \( d,c \) coprimos.

Cierto. He creído un método interesante el recurrir al concepto del discriminante de una ecuación bicuadrática; ya veo que no está aportando nada mejor aquí

Tal como lo has escrito no es cierto que \( ab=2cd \) (tendrías \( ab=cd \)). Revísalo.

Yo entiendo que es correcto:  \( ab=2cd \)  \( \wedge \)  \( (ab)^2=4c^2d^2 \)

La clásica ya no lo usa. No puedo evitar que todo esto me parece dar vueltas sobre lo mismo.

Pretendo hacer "variaciones", como en la música. Siempre busco claro que cada versión aporte algo original, pero a veces lo consigo menos de lo que esperaba; es cierto.

No la he mirado 100% detalle; pero no entiendo para que pones y arrastras fracciones que continuamente puedes simplicar. Por ejemplo cuando pones:

\( (\dfrac{x^2}{4})^2+(\dfrac{Y}{4})^2=(\dfrac{z^2}{4})^2 \)

Luego serán soluciones del caso n = 2:

\( \dfrac{x^2}{4}=\dfrac{2ab}{4} \)

\( \dfrac{Y}{4}=\dfrac{a^2-b^2}{4} \)

\( \dfrac{z^2}{4}=\dfrac{a^2+b^2}{4} \)

¿Por qué escribes esos denominadores 4?.

\( \dfrac{Y}{4}\,\,\wedge\,\,\dfrac{z^2}{4} \)  son "racionales". He creído interesante hacer ver que incluso utilizando racionales el descenso infinito como absurdo se mantiene intacto y a lo que apunta siempre es a una solución de cantidades no numerables.

 
Un saludo,

[Luis Fuentes]

Hola

Tal como lo has escrito no es cierto que \( ab=2cd \) (tendrías \( ab=cd \)). Revísalo.

Yo entiendo que es correcto:  \( ab=2cd \)  \( \wedge \)  \( (ab)^2=4c^2d^2 \)

No sé si me he explicado. Si tu tomas:

\( a=a_1a_2 \)

\( b=b_1b_2 \)

\( c=a_1b_1 \)

Entonces:

\( ab=a_1a_2b_1b_2 \) y \( cd=a_1b_1a_2b_2 \)

de donde \( ab=cd \) pero \( ab\neq 2cd \) y \( (ab)^2\neq 4c^2d^2 \)

\( \dfrac{Y}{4}\,\,\wedge\,\,\dfrac{z^2}{4} \)  son "racionales". He creído interesante hacer ver que incluso utilizando racionales el descenso infinito como absurdo se mantiene intacto y a lo que apunta siempre es a una solución de cantidades no numerables.

Tengo que mirar con calma lo que has pretendido hacer; el descenso infinito NO funciona en racionales, no es cuestión de numerabilidad. Es cuestión de que la relación de orden cumpla que todo subconjunto tenga mínimo. Eso se da en los naturales pero no en los enteros ni en los racionales. Otra cosa es que uno use por en medio algunos racionales, pero realmente el descenso infinito se haga sobre naturales (quizá sobre los numeradores o algo así).

Saludos.

[Proyecto_dos]

Hola,

No sé si me he explicado. Si tu tomas:

\( a=a_1a_2 \)

\( b=b_1b_2 \)

\( c=a_1b_1 \)

Entonces:

\( ab=a_1a_2b_1b_2 \) y \( cd=a_1b_1a_2b_2 \)

de donde \( ab=cd \) pero \( ab\neq 2cd \) y \( (ab)^2\neq 4c^2d^2 \)

Ahora lo veo, no lo había entendido. Ya lo he corregido

\( \dfrac{Y}{4}\,\,\wedge\,\,\dfrac{z^2}{4} \)  son "racionales". He creído interesante hacer ver que incluso utilizando racionales el descenso infinito como absurdo se mantiene intacto y a lo que apunta siempre es a una solución de cantidades no numerables.

Tengo que mirar con calma lo que has pretendido hacer; el descenso infinito NO funciona en racionales, no es cuestión de numerabilidad. Es cuestión de que la relación de orden cumpla que todo subconjunto tenga mínimo. Eso se da en los naturales pero no en los enteros ni en los racionales. Otra cosa es que uno use por en medio algunos racionales, pero realmente el descenso infinito se haga sobre naturales (quizá sobre los numeradores o algo así).

Sólo utilizo algunos racionales pero todo se articula, efectivamente, sobre los enteros. No hay que buscar tampoco -pienso- demasiada profundidad en esto ni tampoco quitarle todo sentido. Es una versión más, que me ha parecido original por introducir algunos números racionales en la mecánica de buscar el absurdo por el descenso infinito (de los enteros, claro)


Sdos,

[Luis Fuentes]

Hols

Ahora lo veo, no lo había entendido. Ya lo he corregido

Sigue estando mal. Si comienzas con:

\( a=a_1a_2,\quad b=b_1b_2,\quad c=a_1b_1,\quad d=a_2b_2 \)

ya está mal. Tendría que ser algo así:

\( a=a_1a_2,\quad b=b_1\cdot (2b_2),\quad c=a_1b_1,\quad d=a_2b_2 \)

Sólo utilizo algunos racionales pero todo se articula, efectivamente, sobre los enteros. No hay que buscar tampoco -pienso- demasiada profundidad en esto ni tampoco quitarle todo sentido. Es una versión más, que me ha parecido original por introducir algunos números racionales en la mecánica de buscar el absurdo por el descenso infinito (de los enteros, claro)

Pues yo soy incapaz de ver ahí nada distinto de la demostración usual, salvo que metes unos denominadores que claramente se cancelan y por tanto sobran.

Saludos.

[Proyecto_dos]

Sigue estando mal. Si comienzas con:

\( a=a_1a_2,\quad b=b_1b_2,\quad c=a_1b_1,\quad d=a_2b_2 \)

ya está mal. Tendría que ser algo así:

\( a=a_1a_2,\quad b=b_1\cdot (2b_2),\quad c=a_1b_1,\quad d=a_2b_2 \)

Es cierto, lo corrijo de nuevo