Autor Tema: Teorema de Fermat para cualquier "n"

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

01 Marzo, 2017, 02:10 pm
Leído 5656 veces

Víctor Luis

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,165
  • País: bo
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muy Buenos Días...


• He estado leyendo sobre lo que intentan demostrar, acerca del Teorema de Fermat para los naturales \( n \) triviales para \( n=3 \) y no tanto así para \( n=5 \) donde sabemos que \( 5 \) es primo, así también que \( 7 \) es primo; pero \( 2047 \) es compuesto, donde:

\( n=5 \) ... \( 2^{4}\equiv{1} (mod \ 5) \)

\( n=7 \) ... \( 2^{6}\equiv{1} (mod \ 7) \)

\( n=2047 \) ... \( 2^{2046}\equiv{1} (mod \ 2047) \)


► ¿Por qué \( n=2047 \) Fermat nos dice que es primo ?





Saludos Cordiales...

01 Marzo, 2017, 02:52 pm
Respuesta #1

Víctor Luis

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,165
  • País: bo
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muy Buenas....


• Respecto a la primalidad de Fermat, que es amplia y no tanto específica.... surge, algo que podríamos decir, un arreglo de primalidad, dado por Miller-Rabin, donde se nos exponen bases \( a \) de forma "aleatoria" y "probatorias" de primalidad, que empañan el criterio de primalidad que tuvo Fermat, ya que si con Fermat la base \( a=2 \) no es específica para \( n=2047 \) Miller-Rabin nos dicen que con la base \( a=3 \) si lo es, algo que en verdad ocurre; pero para los demás naturales compuestos, en especial, los números de Mersenne compuestos y otros, Miller-Rabin falla, por lo que la base \( a \) no puede ser tomada de forma aleatoria, ni tampoco el absurdo de tomar bases \( a \) impares-primos, tal cual que cuando \( n \) sea grande, se deban tomar muchas bases \( a \) para lograr tan solo una primalidad relativamente-probabilística del 75% donde si empleo la metodología para determinar primos de Mersenne,... con seguridad que la eficiencia y eficacia de la primalidad no llega al 75%, que en mi criterio, esto es un algo como un conformismo.


○ Fermat está en lo correcto... \( 2^{p-1}\equiv{1} (mod \ p) \)


• Pero eso no es todo, respecto al Teorema de Fermat... al menos, no es lo que nos quizo enseñar y por donde uno debe abordar para dar con su demostración amplia y contundente.
→ Si me han entendido, ya les dí el camino, para ampliar el Teorema de Fermat, desde lo que denomino es, el enfoque estructural de los números naturales.





Saludos Cordiales...

01 Marzo, 2017, 03:41 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 58,871
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

• He estado leyendo sobre lo que intentan demostrar, acerca del Teorema de Fermat para los naturales \( n \)

Citar
No estoy 100% seguro de lo que te refeires con "lo que intentan demostrar". Por lo que dices después veo que te refeires al pequeño Teorema de Fermat y éste está perfectamente demostrado.

 triviales para \( n=3 \) y no tanto así para \( n=5 \) donde sabemos que \( 5 \) es primo, así también que \( 7 \) es primo; pero \( 2047 \) es compuesto, donde:

\( n=5 \) ... \( 2^{4}\equiv{1} (mod \ 5) \)

\( n=7 \) ... \( 2^{6}\equiv{1} (mod \ 7) \)

\( n=2047 \) ... \( 2^{2046}\equiv{1} (mod \ 2047) \)


► ¿Por qué \( n=2047 \) Fermat nos dice que es primo ?

Fermat no dice que \( n=2047  \)sea primo.

El pequeño Teorema de Fermat tampoco dice que \( n=2047 \) sea primo.

El pequeño Teorema de Fermat dice que si \( p \) es primo y \( a \) no es múltiplo de \( p \), entonces \( a^{p-1}\equiv 1 \) mod \( p \).

Si \( p \) no es primo, el pequeño Teorema de Fermat no dice nada; puede que se cumpla que  \( a^{p-1}\equiv 1 \) mod \( p \) o puede que no se cumpla, dependiendo de los valores concretos de \( a \) y de \( p \).

Entonces lo que si puede deducirse del pequeño Teorema de Fermat es que si \( a \) y \( p \) son coprimos y \( a^{p-1}\not\equiv 1 \) mod \( p \), entonces \( p \) NO es primo.

Volviendo a tu ejemplo, el saber que \( 2^{2046}=1 \) mod \( 2047 \) no nos dice nada definitivo respecto a la primalidad de \( 2047 \).

Saludos.

P.D. Hay otros resultados que generalizan y precisan el pequeño Teorema de Fermat:

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euler

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Carmichael


01 Marzo, 2017, 03:53 pm
Respuesta #3

Víctor Luis

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,165
  • País: bo
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muy Buenas....


• Espero de su comprensión y no me mal-entiendan... no digo que Fermat esté equivocado.... SI lo están Miller-Rabin, porque lo determinista no puede ser tomado como algo probabilístico, con lo que se indica que es un trabajo a medias...

◘ Abrí un hilo, indicando que el natural "3" no es un primo de Mersenne, debido a que no tiene un estructura numérica valorable al igual que los demás primos de Mersenne... ó puede ser que no sepa de algo, de lo tanto y poco que leí en Teoría de Números... por lo que les pregunto:

Siendo la sucesión y/o progresión: \( \{78125,15625,3125,625,125,...\} \)

¿Cuál es el último término natural positivo de la sucesión?

1°) Si me dicen que es "1"... el natural "3" NO es primo de Mersenne.

2°) Si me dicen que es "0"... el natural "3" ES primo de Mersenne.


• Todos los primos de Mersenne, comprobados y/o evaluados hasta el exponente 35.000 cumplen con la estructura de primalidad para Mersenne, excepto el natural "3"... claro que depende de su respuesta.
→ Ningún natural de Mersenne compuesto, tiene la estructura de primalidad para Mersenne, es decir, que hasta el esponente 35.000, ningún número de Mersenne compuesto, para por si acaso como algo que podríamos decir "Pseudoprimos de Mersenne"... el natural "3" sería el unico a considerar como esto.

• Por otra parte, tenemos que \( 2^{3}-1=7 \) donde \( 7 \) si es un natural primo y por definición, un Número de Mersenne, \( 2^{p}-1 \) es aquel cuyo exponente \( p \) es primo,... algo único que apoyaría a la primalidad del natural "3".
→ Pero como \( 2^{2}-1=3 \) se tiene por definido que el natural "2" es primo y como tal, validaría la primalidad del natural "3".... ?  ???

• Al Falso... ya que el natural "2" estructuralmente, no es primo, no solo por ser "par" sino, porque carece de estructura valorable... a menos que me digan en la consulta anterior, que el primer término de la sucesión es "0".... es así?
→ No es que quiera involucrar adrede en esto a la estructura numérica... y es que Fermat, tal y cual como se expresa en las demostraciones que leí, se basan y abordan, el enfoque estructural de los números naturales, algo que el mismo Fermat, si lo tuviéramos ahora, respaldaría lo que les digo, porque después de \( 2^{p}-1 \) hay mucha mas tela por cortar... siendo un ejemplo muy claro y contundente, la primalidad determinista de los primos de Mersenne. (algo que pronto se manejará en el criterio matemático)

• Lo que me contradice, para retractarme sobre la primalidad del natural "3" es que a priori, con la primalidad PRIM_P-Q donde siendo \( p \) un natural primo, este valida e invalida la primalidad de \( q \) lo que se cumple con los semiprimos conformados con el natural "3" observados a priori, no dándose esto por ejemplo con \( p=3 \) y \( q=6 \) donde conforman \( m=p\cdot{}q=18 \) ya que el natural compuesto \( 18 \) carece de una estructura valorable, tanto para determinar su primalidad, como para determinar su factorización estructural.
→ Mientras que con \( p=3 \) y \( q=7 \) que conforman \( m=p\cdot{}q=21 \) su factorización estructural es dable y a cabalidad con la estructura del natural primo \( 7 \) no pudiendo ser copletada ni corroborada con la estructura del natural "3" al menos, a priori, porque no realicé amplias evaluaciones y comprobaciones sobre esto, ya que con la primalidad para primos de Mersenne, este no pasa la evaluación... a menos que me digan que el primer término de la sucesión es "0".

◘ En todo caso... reitero que Fermat, está en lo correcto... pero no es de amplia generalización el enunciado de su primalidad sobre \( 2^{p-1}\equiv{1} (mod \ p) \) para todo natural \( p \) primo... y es que falta completar su teorema, antes de abordar de lleno a dar con sus demostraciones matemáticas.




Saludos Cordiales...

01 Marzo, 2017, 04:06 pm
Respuesta #4

Víctor Luis

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,165
  • País: bo
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas Tardes EL_MANCO...


• Agradezco el aporte de tú criterio matemático, el cual es muy valorado y recibido, aunque por mi criterio, se me tome como algo contreras que quiere cambiar la matemática, lo cual no es así,... tan solo complementarla.

CONSULTA.


Siendo la sucesión y/o progresión \( \{78125,15625,3125,625,125,...\} \)

¿Cuál es el primer término natural positivo de la sucesión y/o progresión?

Donde sabemos que la razón es \( 5 \)





Saludos Cordiales...

01 Marzo, 2017, 04:08 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 58,871
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

• Espero de su comprensión y no me mal-entiendan... no digo que Fermat esté equivocado.... SI lo están Miller-Rabin, porque lo determinista no puede ser tomado como algo probabilístico, con lo que se indica que es un trabajo a medias...

Que un test sea probabilístico no quiere decir que esté equivocado; estaría equivocado si alguien lo usa como determinista ignorando que es probabilístico. Pero eso no lo hacen los matemáticos serios. Si usan un test determinista saben que su resultado es inequívoco; si usan uno probabilístico saben que su resultado es probabilístico; dependiendo de la aplicación que estén dando a ese test lo probabilístico puede ser suficiente o no.

Citar
◘ Abrí un hilo, indicando que el natural "3" no es un primo de Mersenne, debido a que no tiene un estructura numérica valorable al igual que los demás primos de Mersenne... ó puede ser que no sepa de algo, de lo tanto y poco que leí en Teoría de Números... por lo que les pregunto:

Siendo la sucesión y/o progresión: \( \{78125,15625,3125,625,125,...\} \)

¿Cuál es el último término natural positivo de la sucesión?

1°) Si me dicen que es "1"... el natural "3" NO es primo de Mersenne.

2°) Si me dicen que es "0"... el natural "3" ES primo de Mersenne.


• Todos los primos de Mersenne, comprobados y/o evaluados hasta el exponente 35.000 cumplen con la estructura de primalidad para Mersenne, excepto el natural "3"... claro que depende de su respuesta.
→ Ningún natural de Mersenne compuesto, tiene la estructura de primalidad para Mersenne, es decir, que hasta el esponente 35.000, ningún número de Mersenne compuesto, para por si acaso como algo que podríamos decir "Pseudoprimos de Mersenne"... el natural "3" sería el unico a considerar como esto.

• Por otra parte, tenemos que \( 2^{3}-1=7 \) donde \( 7 \) si es un natural primo y por definición, un Número de Mersenne, \( 2^{p}-1 \) es aquel cuyo exponente \( p \) es primo,... algo único que apoyaría a la primalidad del natural "3".
→ Pero como \( 2^{2}-1=3 \) se tiene por definido que el natural "2" es primo y como tal, validaría la primalidad del natural "3".... ?  ???

• Al Falso... ya que el natural "2" estructuralmente, no es primo, no solo por ser "par" sino, porque carece de estructura valorable... a menos que me digan en la consulta anterior, que el primer término de la sucesión es "0".... es así?
→ No es que quiera involucrar adrede en esto a la estructura numérica... y es que Fermat, tal y cual como se expresa en las demostraciones que leí, se basan y abordan, el enfoque estructural de los números naturales, algo que el mismo Fermat, si lo tuviéramos ahora, respaldaría lo que les digo, porque después de \( 2^{p}-1 \) hay mucha mas tela por cortar... siendo un ejemplo muy claro y contundente, la primalidad determinista de los primos de Mersenne. (algo que pronto se manejará en el criterio matemático)

• Lo que me contradice, para retractarme sobre la primalidad del natural "3" es que a priori, con la primalidad PRIM_P-Q donde siendo \( p \) un natural primo, este valida e invalida la primalidad de \( q \) lo que se cumple con los semiprimos conformados con el natural "3" observados a priori, no dándose esto por ejemplo con \( p=3 \) y \( q=6 \) donde conforman \( m=p\cdot{}q=18 \) ya que el natural compuesto \( 18 \) carece de una estructura valorable, tanto para determinar su primalidad, como para determinar su factorización estructural.
→ Mientras que con \( p=3 \) y \( q=7 \) que conforman \( m=p\cdot{}q=21 \) su factorización estructural es dable y a cabalidad con la estructura del natural primo \( 7 \) no pudiendo ser copletada ni corroborada con la estructura del natural "3" al menos, a priori, porque no realicé amplias evaluaciones y comprobaciones sobre esto, ya que con la primalidad para primos de Mersenne, este no pasa la evaluación... a menos que me digan que el primer término de la sucesión es "0".

En esto no entro. La clave es que entiendas que discutir si el \( 2 \) o el \( 3 \) son primos o primos de Mersenne, en el sentido que lo haces es una pérdida de tiempo. Si tu no los queires considerar primos... perfecto. Si los matemáticos los consideran primos perfecto. Llamémosle primos, cuñados o tioabuelos no va a cambiar el hecho de que, por ejemplo, los divisores positivos de \( 3 \) son sólo el \( 1 \) y el \( 3 \); tampoco va a cambiar el hecho de que \( 2 \) y \( 3 \) no pueden escribirse de la forma \( 6n\pm 1 \), con \( n \) entero (por decir algo).

Hubo todo un hilo donde se perdió el tiempo discutiendo esas cosas. No entro.

Saludos.

01 Marzo, 2017, 04:45 pm
Respuesta #6

Víctor Luis

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,165
  • País: bo
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas Tardes (aún...) El_Manco...


• No pretendo entrar al debate infructuoso sobre la primalidad del 2 y 3.... Mil Disculpas... tan solo quiero aprender y saber, esto que no comprendo:

Siendo la razón \( r=7 \) en la progresión geométrica \( \{823543,117649,16807,2401,343,...,...,...\} \)

◘ Es aceptable que el primer término de la progresión sea el "0" ?

○ He buscado información sobre esto y todo me dice que el primer término natural positivo es el "1"... por eso mi consulta.


Spoiler
☼ Aunque no es parte del tema de este hilo... abusando de su amabilidad El_Manco... Le consulto:

Código: [Seleccionar]
Entre:
17969491597941066732916128449573246156367561808012600070888918835531726460341490933493372247868650755230855864199916504683298669765666010536751679875555215155352059564439588321267754295364895882307962139588595096264022000000000000

Y:
17969491597941066732916128449573246156367561808012600070888918835531726460341490933493372247868650755230855864199920743727011341418068691046253765748934926233322430093800567432315496469966801169041875573298400185786561000000000000

Hay una distancia de:
4239043712671652402680509502085873379711077970370529360979111047742174601905286733913433709805089522539000000000000

◘ ¿Cómo podría recorrer esa distancia de forma mas simple y eficiente, abarcando toda la distancia natural?

○ Podría fraccionarlo, hasta un rango aceptable; pero el cociente, es decir, el número de iteraciones es muy alto para mi aceptación... por lo que le consulto, si hay alguna otra manera de hacer este recorrido, con eficiencia matemática, algo que por ahora, está fuera de mi alcance.... y es que necesito esto, para factorizar el RSA-230 para nuestro amigo Feriva.

GRACIAS....
[cerrar]



Saludos Cordiales...

01 Marzo, 2017, 04:54 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 58,871
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Buenas Tardes (aún...) El_Manco...


• No pretendo entrar al debate infructuoso sobre la primalidad del 2 y 3.... Mil Disculpas... tan solo quiero aprender y saber, esto que no comprendo:

Siendo la razón \( r=7 \) en la progresión geométrica \( \{823543,117649,16807,2401,343,...,...,...\} \)

◘ Es aceptable que el primer término de la progresión sea el "0" ?

No. El primer término es \( 1 \).

 
Citar
Aunque no es parte del tema de este hilo... abusando de su amabilidad El_Manco... Le consulto:

Código: [Seleccionar]
Entre:
17969491597941066732916128449573246156367561808012600070888918835531726460341490933493372247868650755230855864199916504683298669765666010536751679875555215155352059564439588321267754295364895882307962139588595096264022000000000000

Y:
17969491597941066732916128449573246156367561808012600070888918835531726460341490933493372247868650755230855864199920743727011341418068691046253765748934926233322430093800567432315496469966801169041875573298400185786561000000000000

Hay una distancia de:
4239043712671652402680509502085873379711077970370529360979111047742174601905286733913433709805089522539000000000000

◘ ¿Cómo podría recorrer esa distancia de forma mas simple y eficiente, abarcando toda la distancia natural?

○ Podría fraccionarlo, hasta un rango aceptable; pero el cociente, es decir, el número de iteraciones es muy alto para mi aceptación... por lo que le consulto, si hay alguna otra manera de hacer este recorrido, con eficiencia matemática, algo que por ahora, está fuera de mi alcance.... y es que necesito esto, para factorizar el RSA-230 para nuestro amigo Feriva.

GRACIAS....

Decir "como recorrer esa distancia" es algo muy vago. ¿Recorrerla para qué? ¿En qué sentido?.

Saludos.

01 Marzo, 2017, 06:11 pm
Respuesta #8

Víctor Luis

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,165
  • País: bo
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas Noches El_Manco...



Citar
Decir "como recorrer esa distancia" es algo muy vago. ¿Recorrerla para qué? ¿En qué sentido?.

• En ese intervalo, que te indiqué, está el punto de factorización del compuesto RSA-230, a lo que llegué a denominar, luego de haber encontrado esto, como "Zona de Factorización" dado y delimitado por la raiz cuadrada del compuesto semiprimo.
→ Sobre mi consulta del recorrido, por ejemplo, siendo que debemos recorrer:

(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,...)


Partiendo de 1 y los dobles a partir de este, tenemos:

{1,2,4,8,16,...}

Quedándonos:

{3,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,...}


Ahora proseguimos con los dobles de 3, que es el primer término que nos queda:

{3,6,12,24,...}

Quedándonos:

{5,7,9,10,11,13,14,15,17,18,20,....}


◘ Y así proseguimos, donde con el recorrido, abarcamos a todos los naturales... Y es a esto que me refiero,... que si hay otras maneras mas eficientes de hacer y/o cubrir por completo este recorrido ó intervalo numérico.

• El criterio, me servirá para aplicarlo en valorar esta zona estructural y determinar el punto de factorización, con lo que tendríamos ya logrado la factorización de este compuesto.

☼ De todas formas.... Muchas Gracias... supongo que no me doy a entender con mi explicación...


☼ En Mathematica,.... usted que maneja bien este programa,... Si cargo una lista \( vn \) con ciertos valores de referencia, con la función "Count" puedo saber si un valor buscado, está  en la lista, lo que en Python se haría con:

Código: [Seleccionar]
If n in vn:

•Mas esto, en el tutorial de Mathematica no lo he encontrado, tan solo que puedo aplicar la función "Count" en listas "Range" y esto me limita, al cargar una lista con mayor cantidad de datos, debido a que se consume mayor cantidad de memoria operativa.
→ Otra duda que tengo, es si la complejidad se afecta cuando ponemos ó nó, operaciones entre parténtesis, como por ejemplo:

¿Cuál es lo correcto... esto?
Código: [Seleccionar]
n=b^x
r=Mod[r^2,n]

Ó esto?
Código: [Seleccionar]
n=(b^x)
r=Mod[(r^2),n]





Saludos Cordiales.... y Muchas Gracias...

01 Marzo, 2017, 06:45 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 58,871
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

☼ De todas formas.... Muchas Gracias... supongo que no me doy a entender con mi explicación...

No logro entender exactamente lo que preguntas, lo siento.

Citar
☼ En Mathematica,.... usted que maneja bien este programa,... Si cargo una lista \( vn \) con ciertos valores de referencia, con la función "Count" puedo saber si un valor buscado, está  en la lista, lo que en Python se haría con:

Código: [Seleccionar]
If n in vn:

•Mas esto, en el tutorial de Mathematica no lo he encontrado, tan solo que puedo aplicar la función "Count" en listas "Range" y esto me limita, al cargar una lista con mayor cantidad de datos, debido a que se consume mayor cantidad de memoria operativa.

¿Quieres decir que no funciona para listas muy largas o que hace la búsqueda muy lenta? El comando Count cuentas cuantas veces sale el elemento en la lista. Si sólo quieres saber si aparece puedes usar MemberQ. Si la lista estuviese ordenada todavía esto se puede hacer de manera más óptima.

Citar
→ Otra duda que tengo, es si la complejidad se afecta cuando ponemos ó nó, operaciones entre parténtesis, como por ejemplo:

¿Cuál es lo correcto... esto?
Código: [Seleccionar]
n=b^x
r=Mod[r^2,n]

Ó esto?
Código: [Seleccionar]
n=(b^x)
r=Mod[(r^2),n]

Yo creo que es lo mismo.

Saludos.