Autor Tema: Demostrar paralelogramo.

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07 Febrero, 2017, 10:21 pm
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latex

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Buenas noches, tengo un problema (a priori fácil de ver) que no se demostrar correctamente formalmente.

Dado un plano afín se considera un cuadrilátero \( ABCD \), demostrar que, si \( P \),\( Q \),\( R \) Y \( S \) son los puntos medios de \( AB \), \( BC \), \( CD \) y \( DA \), entonces \( PQRS \) es un palalelogramo.

Si alguien puede ayudarme, o dar algún consejo  sobre el uso del lenguaje usado en las demostraciones en un espacio a fín será bienvenido :)

Saludos.





07 Febrero, 2017, 10:32 pm
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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Dibuja las diagonales del cuadrilátero. Se trata del teorema de Varignon. Vale incluso para cuadriláteros alabeados:


http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teorema_Varignon.html
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

07 Febrero, 2017, 10:34 pm
Respuesta #2

EnRlquE

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Hola latex.

 Intenta probar que cada lado de \( PQRS \) es paralelo a una de las diagonales del cuadrilátero inicial. Para probarlo trata de hacer un dibujo y usa el teorema de la base media (no encontré versión del enlace en español).

 Si tienes alguna dificultad en el camino, pregunta.

Saludos,

Enrique.

P.S. ilarrosa fue más rápido que yo  ;), dejo este mensaje para complementar lo que él comenta.

07 Febrero, 2017, 10:59 pm
Respuesta #3

latex

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Muchísimas gracias por vuestro tiempo y brevedad :)


En relación con el problema me surge la duda si existe alguna demostración mas sencilla, dado que desconozco el teorema de Varignon (acabo de empezar con geometría), optaré por intentar demostrar, la idea de Enrique, podrías profundizar un poco más, es decir, no consigo encontrar una demostración rigurosa, la demostración de \( \vec{eh} = \vec{FG} \)... (para los restantes lados en el cuadrilatero de ilarrosa) no demostraría a priori que es un cuadrilátero en el espacio a fín ¿luego tendría que ver también su intersección?

Mi idea es tratar de ver una demostración más fundamental pero no se si la hay.

Saludos.

07 Febrero, 2017, 11:54 pm
Respuesta #4

Ignacio Larrosa

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latex, lo que quieres demostrar es el teorema de Varignon. Una diagonal divide al cuadrilátero en dos triangulos. Los segmentos que unen los puntos medios de los otros lados de esos triangulos, que son los lados del paralelogramo, son entonces paralelos a la diagonal, y por tanto paralelos entre si. Entonces ...
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