Autor Tema: 0.999... = 1

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06 Febrero, 2017, 03:13 pm
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Samir M.

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Sea \( a = 0.999 \dots \). Entonces \( a \leq 1 \). Supongamos que \( a < 1 \). Entonces \( 1 - a > \epsilon \) para algún \( \epsilon > 0 \). Para este \( \epsilon \) existe un \( n \in \mathbb{N} \) tal que \( \epsilon > \dfrac{1}{10^n} \). Es decir, \( 1-a > \dfrac{1}{10^n} \). Ahora formamos un \( b = 0.\underbrace{999 \dots}_{n+1} \) donde la cantidad de nueves es \( n+1 \). Es obvio que \( b < a \). Pero, por otro lado, \( 1-b \leq \dfrac{1}{10^n} \), es decir, \( b > a \). Contradicción. Por tanto, \( a = 1 \).
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

06 Febrero, 2017, 03:39 pm
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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Este es un asunto que con frecuencia genera mucha polémica y sinceramente no entiendo por qué. Hay que partir de saber de que estamos hablando. Si se entiende lo que significa la representación decimal infinita de un número, no parece haber dudas.

Creo que estamos de acuerdo que 0.999... donde la cadenas de nueves no acaba, solo puede interpretarse como

\( 0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... = 9\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{10^n} = 9\frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}}= 9\frac{1}{10 - 1} = 1 \)

Pero también está aquello de

\( \frac{1}{3}= 0.333....\Longrightarrow{}1 = 3·\frac{1}{3}= 0.999... \)
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

06 Febrero, 2017, 04:06 pm
Respuesta #2

mathtruco

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Gracias Samir M. por compartir esta demostración, no la conocía.

Este es un asunto que con frecuencia genera mucha polémica y sinceramente no entiendo por qué.

Yo creo que la polémica viene de asumir que cada número tiene una única representación decimal, por lo que la duda me parece razonable y el resultado es uno de esos que hacen bang en la cabeza cuando uno recién lo advierte. Bueno, después uno se acostumbra a eso de las series (que la suma de infinitos numeros positivos converge, que es igualmente loco) y se hace natural.

Un hilo relacionado:    0,99999 o 1

06 Febrero, 2017, 04:13 pm
Respuesta #3

feriva

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Hola, Samir, al ver la cuestión en discusiones semi-públicas, ya imagino que la duda no es tuya (por eso y porque sabes muchas matemáticas) pero me gustaría hacer un comentario.

Una cosa sobre esto que he comentado más de una y más de dos veces en el foro: ¿nunca has considerado dividir en una base distinta de base 10? Es decir, la división a mano es un algoritmo en el que subdividimos cada unidad en diez partes; tenemos 1/3 y el primer paso empieza siendo añadir un cero detrás del 1 interpretando que tenemos ahora 10 (perdón, diez) subunidades. Ocurre que nuestra base se descompone en los primos 2*5 a la vez que tenemos un divisor primo que no es 2 ni 5; y la división no termina. Pero qué pasa aquí 1/5 ó aquí 1/2, que uno de los componentes de la base sí es divisible entre  2 y la divisibilidad encaja. Por esto precisamente todos los múltiplos de 2 y de 5 nunca dan un número periódico al ser divididos (cuando 2 ó 5 dividen a otros, perdón, que lo he dicho al revés) entre otro natural cualquiera (usando base 10, digo).

Basta hacer la división subdividiendo cada unidad en tres, en vez de en diez partes, y ese 10 querrá decir 3 subunidades, y el cociente no será un número periódico; será un número no entero que vendrá dado en base tres, pero la división se acabará y ese número será equivalente a 0,333... Vamos, no el número, el número es el mismo número racional, equivalente será la notación en su base.   

Saludos.

06 Febrero, 2017, 05:22 pm
Respuesta #4

Samir M.

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Sí, ilarrosa. Es un camino directo. El problema es que a quien le mostraba la demostración no creo que tenga idea de series. Y concuerdo con mathtruco, para mí el problema es el mismo. Ese bang que comentas es de los que más gracia me hacen por cómo juegan con la intuición. Y pf, feriva, ya me entretuve mucho en bachillerato resolviendo problemas de olimpiadas, donde salían con mucha frecuencia problemas relacionados con los cambios de base numéricos. Es un buen ejercicio que todo estudiante de ciencias debería plantearse alguna vez.

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

06 Febrero, 2017, 06:49 pm
Respuesta #5

mathtruco

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El problema es que a quien le mostraba la demostración no creo que tenga idea de series.

Entonces una explicación más livianita (intuitiva) puede ser más apropiada:  sabiendo que entre dos reales hay infinitos de reales, pregúntale como escribiría un número entre \( 0.\bar{9} \) y \( 1 \), por ejemplo, como escribiría en número que está justo en medio: \( 0.\bar{9}\leq\dfrac{0.\bar{9}+1}{2}\leq 1 \).

Aunque es menos formal, me parece más fácil de digerir que los argumentos de "existe un \( \epsilon \)...", pero todo dependerá de a quien se está intentando convencer.

06 Febrero, 2017, 07:32 pm
Respuesta #6

Ignacio Larrosa

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Para personas con alguna formación matemática no debe haber dudas una vez aceptado lo que significa 0.999... Para personas sin ella, me parece que el argumento más contundente es el de 3 por 1/3, en dura competencia con este que expone  mathtruco.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

06 Febrero, 2017, 08:11 pm
Respuesta #7

sugata

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Para personas con alguna formación matemática no debe haber dudas una vez aceptado lo que significa 0.999... Para personas sin ella, me parece que el argumento más contundente es el de 3 por 1/3, en dura competencia con este que expone  mathtruco.

Saludos,

Totalmente de acuerdo.

06 Febrero, 2017, 08:18 pm
Respuesta #8

Samir M.

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Algo de formación matemática sí que tiene, pero no lo entendió como bien habéis intuido :D Confieso que me he quedado un poco atontado con el ejemplo de mathtruco; muy bueno!

Un saludo a todos y gracias por vuestros comentarios!
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

06 Febrero, 2017, 09:23 pm
Respuesta #9

Juan Pablo Sancho

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Aunque  ha salido unas cuantas veces (otra alternativa):

\( x = 0.99999999 \cdots = 0.\hat{9} \) entonces \( 10 \cdot x = 9.\hat{9}  \) queda:

\( 9 \cdot x = 10 \cdot x - x = 9 \)

Editado

Este hilo también puede ayudar :

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=78716.0