Autor Tema: Sucesión

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23 Enero, 2017, 09:23 pm
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Francois

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Hola que tal a todos.
Estoy revisando tema sucesiones.
Espero puedan ayudarme.

Si \( 0<b\leq{a} \) y si \( x_{n}=(a^{n}+b^{n})^{\displaystyle\frac{1}{n}} \).
Pruebe que \(  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{x_{n}}=a  \)

Saludos!

23 Enero, 2017, 10:00 pm
Respuesta #1

sugata

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Dos cosas.
1.- El límite es cuando \( n\rightarrow{+\infty} \) y no \( x \)
2.- Estoy un poco oxidado, pero intentaría demostrar que \( a^n +b^n \) tienden a \( a^n \), y como luego se aplica la raíz enésima, ya tendríamos \( a \)

23 Enero, 2017, 10:17 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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Si \( 0<b\leq{a} \) y si \( x_{n}=(a^{n}+b^{n})^{\displaystyle\frac{1}{n}} \).
Pruebe que \(  \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x_{n}}=a  \)

Escribe

          \( x_{n}=(a^{n}+b^{n})^{\displaystyle\frac{1}{n}}=\left(a^{n}\left(1+\dfrac{b^n}{a^n}\right)\right)^{\displaystyle\frac{1}{n}}=a\left(1+\dfrac{b^n}{a^n}\right)^{\dfrac{1}{n}}. \)

23 Enero, 2017, 10:42 pm
Respuesta #3

Francois

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 Muchas gracias.

 El limite puede ingresar a  \( (\displaystyle\frac{b}{a})^{n}  \) lo cual es cero porque es menor a 1 .

Es cierto esto? O debo usar logaritmo?
Saludos.

23 Enero, 2017, 11:11 pm
Respuesta #4

EnRlquE

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Hola Francois.

 El límite no puede ingresar directamente a \( b^{n}/a^{n} \) porque el exponente de \( (1+b^{n}/a^{n}) \) depende de \( n. \) Una forma de concluir es observar que como \( 0<\frac{b}{a}\leq1, \) entonces \( 0<\frac{b^{n}}{a^{n}}\leq1 \) y en consecuencia

\( \displaystyle 1^{1/n}<\Big(1+\frac{b^{n}}{a^{n}}\Big)^{1/n}\leq (1+1)^{1/n}. \)

 De esto se deduce que \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{b^{n}}{a^{n}}\Big)^{1/n}=1. \) Si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.

24 Enero, 2017, 12:28 am
Respuesta #5

Fernando Revilla

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Otra forma,
          \( b<a\Rightarrow \displaystyle\lim _{n\to +\infty}x_{n}=\displaystyle\lim _{n\to +\infty}a\left(1+\dfrac{b^n}{a^n}\right)^{1/n}=a(1+0)^0=a, \)
           
          \( b=a\Rightarrow \displaystyle\lim _{n\to +\infty} x_{n}=\displaystyle\lim _{n\to +\infty}a\left(1+1\right)^{1/n}=a2^0=a. \)