[matiasaitam]

Estimados, ¿Serían tan amables de ayudarme a resolver el siguiente ejercicio?
Sea \( S \) el conjunto de puntos de \( \mathbb{R}^3 \) tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los ejes \( x \) e \( y \) resulta igual a 4. Describa a \( S \) mediante una ecuación e identifique de que superficie se trata. Luego realice un dibujo aproximado de \( S \).

Yo propongo lo siguiente:

\( x^2+y^2=4 \)

entonces quedaría:

\( \displaystyle\frac{x^2}{2^2}+\displaystyle\frac{y^2}{2^2}=1 \)

y la superficie que quedaría es un cilindro de radio 2 en torno al eje \( z \).

Pero tengo un amigo que dice que estoy mal y que la respuesta es una esfera ¿Que opinan ustedes, cual seria la forma correcta de resolver el ejercicio?

Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

Estimados, ¿Serían tan amables de ayudarme a resolver el siguiente ejercicio?
Sea \( S \) el conjunto de puntos de \( \mathbb{R}^3 \) tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los ejes \( x \) e \( y \) resulta igual a 4. Describa a \( S \) mediante una ecuación e identifique de que superficie se trata. Luego realice un dibujo aproximado de \( S \).

Yo propongo lo siguiente:

\( x^2+y^2=4 \)

entonces quedaría:

\( \displaystyle\frac{x^2}{2^2}+\displaystyle\frac{y^2}{2^2}=1 \)

y la superficie que quedaría es un cilindro de radio 2 en torno al eje \( z \).

Pero tengo un amigo que dice que estoy mal y que la respuesta es una esfera ¿Que opinan ustedes, cual seria la forma correcta de resolver el ejercicio?

Es que la distancia de un punto \( (x,y,z) \) al eje \( X \), es \( \sqrt{y^2+z^2} \) y la distancia al eje \( Y \), es \( \sqrt{x^2+z^2} \). Por tanto la ecuación queda:

\( y^2+z^2+x^2+z^2=4 \)

es decir:

\( y^2+x^2+2z^2=4 \)

Eso es un elipsoide.

Saludos.