Autor Tema: Encontrar la función de densidad de probabilidad de la suma

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17 Diciembre, 2016, 07:20 am
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¡Hola!
Estoy tratando de resolver lo siguiente:
Sean \( X,Y  \)variables aleatorias con función de densidad conjunta: \( f(x,y)=\begin{cases} x+y & \text{si}& 0\leq{x}\leq{1}; 0\leq{y}\leq{1}\\0 & \text{si}& otro \ caso\end{cases} \)

Debo obtener la función de densidad de probabilidad para \( U=X+Y \)

El problema que tengo es que he intentado por dos métodos distintos:
1 calcular la función de distribución de U y luego derivarla.
2 Método de tranformaciones.

Y en ambos casos llego a que la función de densidad de probabilidad para \( U=X+Y \)
es f(u)=u para \( 0\leq{u}\leq{2} \) Pero claramente al integrar de cero a dos no resulta dar uno y por ello esta no puede ser la función de densidad deseada.

Dado que he hecho esto por dos procedimientos diferentes y he llegado a la misma función, entonces, sospecho que tomado mal el dominio  \( 0\leq{u}\leq{2} \) pues si fuera \( 0\leq{u}\leq{1} \) ya podría considerarla como la función de densidad de probabilidad de U; pero si este fuera el caso ¿Por qué habría de considerar ese dominio y no el que propongo al inicio?


17 Diciembre, 2016, 11:28 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

¡Hola!
Estoy tratando de resolver lo siguiente:
Sean \( X,Y  \)variables aleatorias con función de densidad conjunta: \( f(x,y)=\begin{cases} x+y & \text{si}& 0\leq{x}\leq{1}; 0\leq{y}\leq{1}\\0 & \text{si}& otro \ caso\end{cases} \)

Debo obtener la función de densidad de probabilidad para \( U=X+Y \)

El problema que tengo es que he intentado por dos métodos distintos:
1 calcular la función de distribución de U y luego derivarla.
2 Método de tranformaciones.

Y en ambos casos llego a que la función de densidad de probabilidad para \( U=X+Y \)
es f(u)=u para \( 0\leq{u}\leq{2} \) Pero claramente al integrar de cero a dos no resulta dar uno y por ello esta no puede ser la función de densidad deseada.

Dado que he hecho esto por dos procedimientos diferentes y he llegado a la misma función, entonces, sospecho que tomado mal el dominio  \( 0\leq{u}\leq{2} \) pues si fuera \( 0\leq{u}\leq{1} \) ya podría considerarla como la función de densidad de probabilidad de U; pero si este fuera el caso ¿Por qué habría de considerar ese dominio y no el que propongo al inicio?

El dominio si es \( 0\leq u\leq 2 \).

Pero la densidad está mal.

Resulta:

\( f(u)=\begin{cases} u^2 & \text{si}& 0\leq u\leq 1\\2u-u^2 & \text{si}& 1\leq u\leq 2\end{cases} \)

Sería bueno que indicases lo que has hecho.

Por ejemplo si \( 0\leq u\leq 1 \):

\( P(X+Y\leq u)=\displaystyle\int_{0}^{u}\displaystyle\int_{0}^{u-x}(x+y)dydx=\dfrac{u^3}{3} \)

y si \( 1\leq u\leq 2 \):

\( P(X+Y\leq u)=1-P(X+Y>u)=\displaystyle\int_{u-1}^{1}\displaystyle\int_{u-x}^{1}(x+y)dydx=u^2-\dfrac{u^3+1}{3} \)

Saludos.

23 Diciembre, 2016, 08:21 pm
Respuesta #2

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Antes que nada, muchas gracias por la respuesta! 

 Y por ejemplo, usando el método de las transformaciones hice (inicialmente):
Fijo \( X=x \) con \( 0\leq{x}\leq{1} \) luego llamo \( h^{-1}(u)=u-x \) cuya derivada con respecto de \( u \) es uno. De manera que \( f (y_1,h^{-1}(u))=u \).

Finalmente hice la integral \( \displaystyle\int_{0}^{1}f (x,h^{-1}(u))dx=u \)

  Ya me percaté de que esto no es correcto y udando este método, después de un tiempo he corregido y llegué al mismo resultado que me mencionas.

  Sin embargo,  ahora indico lo que hice por el método de la función de distribución: fue solamente considerar una integral y no la separé en los dos casos que me indicas. El área de integración fue el triángulo con vértices (0,0) (0,1) y (1,0).  Estaba reflexionando acerca del por qué debo hacer las integrales que me indicas ( me parece que la región de integración es un cuadrado y que lo que estaba trabajando yo era solo el caso u <1); pero no me queda muy claro en qué situaciones deberé de considerar mas de un caso, pues para el método de transformación se nota cuando se imponen las  condiciones  de que la imagen de la función inversa de h debe estar dentro del dominio de la función conjunta que me dan para  \( X \) y  \( Y \)

24 Diciembre, 2016, 10:17 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

  Sin embargo,  ahora indico lo que hice por el método de la función de distribución: fue solamente considerar una integral y no la separé en los dos casos que me indicas. El área de integración fue el triángulo con vértices (0,0) (0,1) y (1,0).  Estaba reflexionando acerca del por qué debo hacer las integrales que me indicas ( me parece que la región de integración es un cuadrado y que lo que estaba trabajando yo era solo el caso u <1); pero no me queda muy claro en qué situaciones deberé de considerar mas de un caso, pues para el método de transformación se nota cuando se imponen las  condiciones  de que la imagen de la función inversa de h debe estar dentro del dominio de la función conjunta que me dan para  \( X \) y  \( Y \)

El soporte de la variable que te dan es el cuadrado \( [0,1]\times [0,1] \). Ahora si queremos calcular:

\( P(X+Y\color{red}\leq\color{black} u) \)

las restricciones son:

\( 0\leq X\leq 1 \)
\( Y\leq u-X \)
\( 0\leq Y\leq 1 \)

Equivalentemente:

\( 0\leq X\leq 1 \)
\( 0\leq Y\leq min(u-X,1) \)

La segunda implica también que \( X\leq u \), por tanto queda:

\( 0\leq X\leq min(u,1) \)
\( 0\leq y\leq min(u-X,1) \)

Entonces ya para discernir cuál es el mínimo \( min(u,1) \) hay que distinguir dos caso:

1) Si \( u\leq 1 \) queda:

\( 0\leq X\leq u \)
\( 0\leq y\leq min(u-X,1)=u-X \)

2) Si \( u>1 \) queda:

\( 0\leq X\leq 1 \)
\( 0\leq Y\leq min(u-X,1) \)

Nota que discernir el caso \( min(u-X,1)=1 \) si y sólo si \( X\leq u-1 \); por tanto queda:

\( 0\leq X\leq u-1 \)
\( 0\leq Y\leq 1 \)

y

\( u-1\leq X\leq 1 \)
\( 0\leq Y\leq u-X \)

esto obligaría a dividir la integral en dos; para evitarlo en la expresión que te indiqué antes yo calculé la probabilidad complementaria:

\( P(X+Y\leq u)=1-P(X+Y>u) \)

Aunque he detallado todo esto analíticamente es muy recomendable y extremadamente clarificador para determinar los límites de integraión hacer un dibujo.



Ahí en el gráfico de la izquierda tienes el caso \( u<1 \) y en el de la derecha \( u>1 \).

Saludos.

CORREGIDO

25 Diciembre, 2016, 12:27 am
Respuesta #4

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Muchísimas gracias  el_manco!  :)
Ahora ya comprendo dicho método, te agradezco los detalles hechos de manera analítica y los dibujos, me han sido demasiado útiles.