Autor Tema: Límite

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11 Diciembre, 2016, 05:56 am
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pierrot

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Sea \( (a_n) \) tal que \( a_1=1 \) y \( a_{n+1}=\dfrac{n}{a_n},\;n\geq 1 \). Determinar el valor del siguiente límite:

\( \displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}\right) \)

Bosquejo de solución:

Primero que nada, deducimos que:

\( a_n=\left\{\begin{array}{cll}1&\mbox{ si } &n=1,2\\ \frac{(n-1)!!}{(n-2)!!}&\mbox{ si } &n>2\end{array}\right. \)

Ahora definamos \( b_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \) y \( c_n=\sqrt{n} \). El límite pedido es \( \lim \frac{b_n}{c_n} \). Si llamamos \( d_n=\frac{b_n}{c_n} \) se trata de hallar \( \lim d_n \). Si existe \( L=\lim d_n \) entonces \( L=\lim d_{2k} \) ya que cualquier subsucesión de una sucesión convergente, converge al mismo límite que la sucesión madre. Luego, si llamamos \( d'_k=d_{2k} \), \( c'_k=c_{2k} \) y \( b'_k=b_{2k} \), queremos determinar

\( \displaystyle \lim_{k\to \infty} d'_k=\lim_{k\to \infty} \frac{b'_k}{c'_k} \)

Como \( c'_k=c_{2k}=\sqrt{2k} \) es una sucesión monótona creciente y no acotada, podemos aplicar Stolz:

\( \begin{align*}
\lim_{k\to \infty} \frac{b'_k}{c'_k} &= \lim_{k\to \infty} \frac{b'_{k+1}-b'_k}{c'_{k+1}-c'_k} \\
&=\lim_{k\to \infty} \frac{b_{2(k+1)}-b_{2k}}{c_{2(k+1)}-c_{2k}} \\
&=\lim_{k\to \infty} \frac{\sum_{i=1}^{2(k+1)} \frac{1}{a_i} - \sum_{i=1}^{2k} \frac{1}{a_i}}{\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{2k}} \\
&=\lim_{k\to \infty} \frac{\displaystyle\frac{1}{a_{2(k+1)}}+\frac{1}{a_{2k+1}}}{\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{2k}} \\
&=\lim_{k\to \infty} \frac{\displaystyle\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}+\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}}{\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{2k}}
\end{align*} \)

Eliminando los factoriales dobles, nos queda:

\( \displaystyle \lim_{k\to \infty} \frac{\displaystyle\frac{2^{2k+1}(k!)^2(k+1)}{\big(2(k+1)\big)!}+\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}}{\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{2k}} \)

Para calcular este límite, utilizamos el equivalente de Stirling: \( \displaystyle k!\sim \sqrt{2\pi k}\left(\frac{e}{k}\right)^k \) y lo que resta es rutinario.

Spoiler
A mí me da \( \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\left(1+\dfrac{\pi}2\right)\approx 2,0512 \)
[cerrar]
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