Autor Tema: Dificultad en la comprensión del axioma de especificación.

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06 Diciembre, 2016, 10:40 pm
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avmath

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Hola a todos,

leyendo el libro de Álgebra de Carlos Ivorra, llego al axioma de especificación de la página 19, que establece que:

\( \textbf{Axioma de especificación}\quad \textit{Dado un conjunto A y una propiedad P, existe un conjunto cuyos elementos son los elementos de A que cumplen P.} \)

Entonces, comenta Carlos que no se llega a ningún absurdo aunque se le aplique este axioma a la propiedad \( Px\equiv x \not\in x \). Es decir, que no hay inconveniente en considerar el conjunto:

\( \displaystyle{R=\left\{x\in A | x \not\in x\right\} \subset A} \)

que es el conjunto cuyos elementos son aquellos que están en \( A \) que no se pertenecen a sí mismos.

Hasta aquí todo perfecto, lo que no entiendo es lo siguiente:

"Lo que podemos probar es que \( R\not\in A \), pues si , pues si \( R \in A \), entonces se tiene la misma contradicción de antes tanto si \( R\in R \) como si \( R\not\in R \) ".

La última parte se refiere a las consecuencias que tiene el axioma de comprensión, o eso quiero creer.

¿Por qué no lo entiendo? Pues porque no sé si esto que me estoy planteando en mi cabeza está bien (creo que tengo un lío curioso):

  • \( R\in A \), entonces si \( R \) tiene la propiedad \( Px \) quiere decir que \( R \in R \), pero si sucede lo anterior, podemos concluir que \( R \not\in R \) entonces hemos llegado a una contradicción lo que quiere decir que la premisa era falsa, por tanto \( R\not\in A \).
  • \( R\in A \), entonces si \( R \) no tiene la propiedad \( Px \), consecuentemente \( R \not\in R \) entonces la única posibilidad es que \( R \in R \) pero hemos llegado a una contradicción así que la supocisión inicial es falsa y por tanto \( R\not\in A \).

Así pues concluimos que \( R\not\in A \). Comprendo que para cualquier matemático esto quizás sea trivial, pero yo que es la primera vez que veo algo así, pues no sé si estoy comprendiendo las cosas bien.

Saludos, espero que se entienda bien y que resulte que no esté liado y esté en lo cierto.




07 Diciembre, 2016, 04:43 am
Respuesta #1

Buscón

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Hola a todos,

leyendo el libro de Álgebra de Carlos Ivorra, llego al axioma de especificación de la página 19, que establece que:

\( \textbf{Axioma de especificación}\quad \textit{Dado un conjunto A y una propiedad P, existe un conjunto cuyos elementos son los elementos de A que cumplen P.} \)

Entonces, comenta Carlos que no se llega a ningún absurdo aunque se le aplique este axioma a la propiedad \( Px\equiv x \not\in x \). Es decir, que no hay inconveniente en considerar el conjunto:

\( \displaystyle{R=\left\{x\in A | x \not\in x\right\} \subset A} \)

que es el conjunto cuyos elementos son aquellos que están en \( A \) que no se pertenecen a sí mismos.

Hasta aquí todo perfecto, lo que no entiendo es lo siguiente:


Siento no poder ayudarte. Para mi que también es la primera vez que veo esto, ya  no es perfecto. No acabo de

entender que un elemento tenga elementos. Los que tienen elementos son los conjuntos y los que pertenecen

a un conjunto son los elementos. ¿no? Bueno, claro está, si no son conjuntos vacíos. Y si se habla de conjuntos se

usa    \( \subset{} \)    no    \( \in{} \).


??? ??? ???


Saludos.

07 Diciembre, 2016, 08:36 am
Respuesta #2

Carlos Ivorra

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No vi tu mensaje ayer.

Hasta aquí todo perfecto, lo que no entiendo es lo siguiente:

"Lo que podemos probar es que \( R\not\in A \), pues si , pues si \( R \in A \), entonces se tiene la misma contradicción de antes tanto si \( R\in R \) como si \( R\not\in R \) ".

La última parte se refiere a las consecuencias que tiene el axioma de comprensión, o eso quiero creer.

En efecto, llegamos a la misma contradicción que con el axioma de comprensión.

¿Por qué no lo entiendo? Pues porque no sé si esto que me estoy planteando en mi cabeza está bien (creo que tengo un lío curioso):

  • \( R\in A \), entonces si \( R \) tiene la propiedad \( Px \) quiere decir que \( R \in R \), pero si sucede lo anterior, podemos concluir que \( R \not\in R \) entonces hemos llegado a una contradicción lo que quiere decir que la premisa era falsa, por tanto \( R\not\in A \).
  • \( R\in A \), entonces si \( R \) no tiene la propiedad \( Px \), consecuentemente \( R \not\in R \) entonces la única posibilidad es que \( R \in R \) pero hemos llegado a una contradicción así que la supocisión inicial es falsa y por tanto \( R\not\in A \).

Así pues concluimos que \( R\not\in A \). Comprendo que para cualquier matemático esto quizás sea trivial, pero yo que es la primera vez que veo algo así, pues no sé si estoy comprendiendo las cosas bien.

Está bien. No sé por qué dices que no lo entiendes. Si suponemos, por reducción al absurdo, que \( R \in A \) llegamos a una contradicción tanto si R tiene como si no tiene la propiedad P. Por consiguiente, si suponer \( R \in A \) lleva a una conradicción, podemos concluir que \( R \notin A \).

07 Diciembre, 2016, 12:15 pm
Respuesta #3

avmath

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No vi tu mensaje ayer.

Hasta aquí todo perfecto, lo que no entiendo es lo siguiente:

"Lo que podemos probar es que \( R\not\in A \), pues si , pues si \( R \in A \), entonces se tiene la misma contradicción de antes tanto si \( R\in R \) como si \( R\not\in R \) ".

La última parte se refiere a las consecuencias que tiene el axioma de comprensión, o eso quiero creer.

En efecto, llegamos a la misma contradicción que con el axioma de comprensión.

¿Por qué no lo entiendo? Pues porque no sé si esto que me estoy planteando en mi cabeza está bien (creo que tengo un lío curioso):

  • \( R\in A \), entonces si \( R \) tiene la propiedad \( Px \) quiere decir que \( R \in R \), pero si sucede lo anterior, podemos concluir que \( R \not\in R \) entonces hemos llegado a una contradicción lo que quiere decir que la premisa era falsa, por tanto \( R\not\in A \).
  • \( R\in A \), entonces si \( R \) no tiene la propiedad \( Px \), consecuentemente \( R \not\in R \) entonces la única posibilidad es que \( R \in R \) pero hemos llegado a una contradicción así que la supocisión inicial es falsa y por tanto \( R\not\in A \).

Así pues concluimos que \( R\not\in A \). Comprendo que para cualquier matemático esto quizás sea trivial, pero yo que es la primera vez que veo algo así, pues no sé si estoy comprendiendo las cosas bien.

Está bien. No sé por qué dices que no lo entiendes. Si suponemos, por reducción al absurdo, que \( R \in A \) llegamos a una contradicción tanto si R tiene como si no tiene la propiedad P. Por consiguiente, si suponer \( R \in A \) lleva a una conradicción, podemos concluir que \( R \notin A \).

Hola Carlos,

pues es que estaba un poco liado porque no sabía si lo que estaba pensando estaba bien o no, además eso de que un conjunto pueda pertenecerse a sí mismo o no desvirtúa un poco. Me expresé mal, no es que no entendiese el axioma, sino que no entendía bien sus implicaciones y me estaba liando.

Yo estudio Ingeniería Informática, quise hacer un Doble Grado en Matemáticas e Ingeniería Informática, pero como ya comenté en este foro hace unos años, no pude y al final me terminé metiendo en la Ingeniería. Después de 3 años, y muy descontento con las Matemáticas que me han dado en lo que llevo de grado, he tomado la decisión de ir aprendiendo y leyendo por mi cuenta. Pero claro, eso tiene sus problemas que son, por ejemplo, que no tienes a nadie que te eche un cable cuando estás más liado que un trompo, aunque para eso pretendo usar el foro.

Supongo que para mí será aún más complicado ya que no estar en la carrera de matemáticas pues no ayuda. Aún así, viendo lo que veo en la Ingeniería, creo que cada uno puede aprender por su cuenta lo que se proponga.

Muchísimas gracias y aprovecho para dártelas también por los libros, es un trabajazo y además es un orgullo que los compartas.

Un saludo.

Hola a todos,

leyendo el libro de Álgebra de Carlos Ivorra, llego al axioma de especificación de la página 19, que establece que:

\( \textbf{Axioma de especificación}\quad \textit{Dado un conjunto A y una propiedad P, existe un conjunto cuyos elementos son los elementos de A que cumplen P.} \)

Entonces, comenta Carlos que no se llega a ningún absurdo aunque se le aplique este axioma a la propiedad \( Px\equiv x \not\in x \). Es decir, que no hay inconveniente en considerar el conjunto:

\( \displaystyle{R=\left\{x\in A | x \not\in x\right\} \subset A} \)

que es el conjunto cuyos elementos son aquellos que están en \( A \) que no se pertenecen a sí mismos.

Hasta aquí todo perfecto, lo que no entiendo es lo siguiente:


Siento no poder ayudarte. Para mi que también es la primera vez que veo esto, ya  no es perfecto. No acabo de

entender que un elemento tenga elementos. Los que tienen elementos son los conjuntos y los que pertenecen

a un conjunto son los elementos. ¿no? Bueno, claro está, si no son conjuntos vacíos. Y si se habla de conjuntos se

usa    \( \subset{} \)    no    \( \in{} \).


??? ??? ???


Saludos.

Hola, ¡¡mírate el libro de Álgebra de Carlos y lo entenderás !!, ¡muchas gracias!

07 Diciembre, 2016, 04:13 pm
Respuesta #4

Carlos Ivorra

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pues es que estaba un poco liado porque no sabía si lo que estaba pensando estaba bien o no, además eso de que un conjunto pueda pertenecerse a sí mismo o no desvirtúa un poco.

Hay un axioma, que realmente no se necesita para casi nada, pero que ayuda a centrar ideas, llamado axioma de regularidad, o de fundación, que implica que ningún conjunto se pertenece a sí mismo.

Si adoptas ese axioma, entonces \( \{x\in A\mid x\notin x\}=A \), y simplemente sucede que \( A\notin A \) porque ningún conjunto se pertenece a sí mismo.

Yo estudio Ingeniería Informática, quise hacer un Doble Grado en Matemáticas e Ingeniería Informática, pero como ya comenté en este foro hace unos años, no pude y al final me terminé metiendo en la Ingeniería. Después de 3 años, y muy descontento con las Matemáticas que me han dado en lo que llevo de grado, he tomado la decisión de ir aprendiendo y leyendo por mi cuenta. Pero claro, eso tiene sus problemas que son, por ejemplo, que no tienes a nadie que te eche un cable cuando estás más liado que un trompo, aunque para eso pretendo usar el foro.

Claro, para eso sirve el foro.

Supongo que para mí será aún más complicado ya que no estar en la carrera de matemáticas pues no ayuda. Aún así, viendo lo que veo en la Ingeniería, creo que cada uno puede aprender por su cuenta lo que se proponga.

Claro que puedes aprender por tu cuenta lo que te propongas. Es cierto que en ocasiones, a cierto nivel, es fundamental tener a alguien a quien preguntar, pero contando con el foro, no deberías tener ningún problema serio, salvo el de estudiar precipitadamente y mal, porque cuando uno hace eso, se forma tal desbarajuste en su cabeza que a veces parece que por mucho que pregunte nadie va a poder poner orden ahí. Lo más importante es que no des un paso hacia delante sin estar seguro de que has asimilado bien lo que dejas atrás.

Muchísimas gracias y aprovecho para dártelas también por los libros, es un trabajazo y además es un orgullo que los compartas.

De nada. Me alegra que te gusten.

07 Diciembre, 2016, 07:37 pm
Respuesta #5

avmath

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Hay un axioma, que realmente no se necesita para casi nada, pero que ayuda a centrar ideas, llamado axioma de regularidad, o de fundación, que implica que ningún conjunto se pertenece a sí mismo.

Si adoptas ese axioma, entonces \( \{x\in A\mid x\notin x\}=A \), y simplemente sucede que \( A\notin A \) porque ningún conjunto se pertenece a sí mismo.

Vale, en las notas a pie de página escribiste eso precisamente, que se considera el caso más sencillo que es que los conjuntos no se pertenezcan a sí mismos.

Claro que puedes aprender por tu cuenta lo que te propongas. Es cierto que en ocasiones, a cierto nivel, es fundamental tener a alguien a quien preguntar, pero contando con el foro, no deberías tener ningún problema serio, salvo el de estudiar precipitadamente y mal, porque cuando uno hace eso, se forma tal desbarajuste en su cabeza que a veces parece que por mucho que pregunte nadie va a poder poner orden ahí. Lo más importante es que no des un paso hacia delante sin estar seguro de que has asimilado bien lo que dejas atrás.

Por eso precisamente pregunté esto. Si no estoy seguro de si estoy entendiendo algo bien lo que hago es preguntar y confirmarlo por tonto que sea.

Un saludo y gracias de nuevo.