[Proyecto_dos]

Hola,


En NFA:

Tenemos:  \( V\equiv{\left\{{x\,|\,x=x}\right\}} \)  \( \wedge \)  \( \overline{V}\equiv{\left\{{x\,|\,x\not\in{V}}\right\}} \)

Estratifico:

\( V_1\equiv{\left\{{x_0\,|\,x_0=x_0}\right\}}_1 \)

\( \overline{V}\equiv{\left\{{x\,|\,x\not\in{V}}\right\}} \)  \( \Rightarrow{} \)  \(  \)  \( \overline{V}\equiv{\left\{{x\,|\,\neg x\in{V}}\right\}} \)  \( \Rightarrow{} \)  \( \overline{V_1}\equiv{\left\{{x_0\,|\,\neg x_0\in{V_1}}\right\}}_1 \)


Un saludo,

[Carlos Ivorra]

Sí, es correcto.

[Proyecto_dos]

Gracias Carlos


Pero entonces..  ¿cómo es que?:   \( \overline{V_1}\equiv{\emptyset}\in{V_1} \)


Sdos

[Carlos Ivorra]

Es que no debes pensar que cada objeto tiene asignado un índice permanente, ni tampoco que todas las fórmulas verdaderas tienen que ser estratificadas. Un mismo objeto puede tener asignados distintos índices en fórmulas distintas y, por otra parte, una fórmula como \( V\in V \) no es estratificable, lo cual no impide que sea un teorema. La estratificación sólo es una propiedad que debe tener una fórmula para que pueda usarse en el axioma de comprensión.

[Proyecto_dos]

Hola. Ok sí, estaba suponiendo que los índices no valen permanentemente; pero vamos por ejemplo al caso que has comentado:  \( V\in{V} \) .  ¿Por qué no es estratificable? Esto suena a una argucia de la teoría. Debería serlo y llevar a una contradicción ¿no?

[Carlos Ivorra]

Hola. Ok sí, estaba suponiendo que los índices no valen permanentemente; pero vamos por ejemplo al caso que has comentado:  \( V\in{V} \) .  ¿Por qué no es estratificable? Esto suena a una argucia de la teoría. Debería serlo y llevar a una contradicción ¿no?

No es estratificable porque, le asignes al término \( V \) el índice que le asignes (que tiene que ser el mismo en sus dos apariciones, no puedes asignar dos índices distintos al mismo término en una estratificación), nunca se va a cumplir la condición de que el índice asignado al primer argumento de \( \in \) sea una unidad inferior al asignado al segundo.

[Proyecto_dos]

No me has entendido. Claro:  \( V_0\in{V_1} \)  es una contradicción. Yo preguntaba por qué se exceptúa. Supongo que porque la teoría entiende que se trata de una especie de clase propia o algo así; por eso decía lo de argucia. Primero creo un estupendo método para evitar contradicciones -en particular la paradoja de Russell- y luego cuando me aparecen las excepciono. Esto no ocurre de esta forma en ZF; por lo menos yo no lo veo así

¿O no se exceptúa y no te estoy entendiendo yo?

[Carlos Ivorra]

No sé de qué excepción hablas. La fórmula \( V\in V \) es una fórmula como otra cualquiera, y no es estratificable porque no es posible asignar índices a sus términos de modo que se cumplan los mismos requisitos que debe cumplir cualquier fórmula para estar estratificada.

[Proyecto_dos]

Me miraré mejor entonces la teoría (la que está en la Revista del Foro que has puesto tú, es a la que me refiero)

Yo había entendido que como  \( R\equiv{\left\{{x\,|\,x\not\in{x}}\right\}} \)  y :  \( \neg \,x_0\in{x_1} \)  no es estratificable; entonces  \( R \)  no era una fórmula válida en NFA; pero tú me estás diciendo -si no lo he entendido mal- que  \( V\in{V} \)  es una fórmula válida en NFA

[Carlos Ivorra]

Me miraré mejor entonces la teoría (la que está en la Revista del Foro que has puesto tú, es a la que me refiero)

Yo había entendido que como  \( R\equiv{\left\{{x\,|\,x\not\in{x}}\right\}} \)  y :  \( \neg \,x_0\in{x_1} \)  no es estratificable; entonces  \( R \)  no era una fórmula válida en NFA; pero tú me estás diciendo -si no lo he entendido mal- que  \( V\in{V} \)  es una fórmula válida en NFA

Pues ahí está, que no debes hablar de "fórmulas válidas o no válidas en NFA", sino meramente de fórmulas válidas o no válidas para aplicarles el axioma de comprensión. La fórmula \( x\notin x \) es una fórmula como otra cualquiera, y la puedes usar para demostrar teoremas, como \( \exists x(x\notin x) \), que se cumple porque, por ejemplo, \( \emptyset\notin\emptyset \). Aquí tienes otro ejemplo de fórmula no estratificable y que es un teorema de NFA.

La única restricción sobre fórmula no estratificables es que no puedes usarlas para definir conjuntos por comprensión, lo cual no impide que puedas formar con ellas afirmaciones demostrables, que no tienen nada de inválidas en NFA.