El libro básicamente me dice:
Definición 5.2:
Para los conjuntos A , B \( \subseteq \) U (Donde U es el universo), cualquier subconjunto de A \( \times \) B es una relacion de A en B
Cualquier subconjunto de \( A \times A \) es una relación binaria en A
Si |\( A \times B \)| = n , se sigue por 5.2 que existen \( 2 ^ n \) relaciones de A en B, el problema se encuentra, en que yo no lograba visualizar el porque de esto, entonces, quise atacarlo por regla del producto, y no me salio, asi que fui por combinatoria.
Dije, la cantidad de relaciones son \( \sum_{i=0}^n{} \displaystyle\binom{n}{i} \) , ya que estamos hablando de como tomar n elementos y agruparlos, 0 (la vacía), de a 1, de a 2, y asi hasta los n que seria \( A \times B \)
Entonces segun esta logica: \( \sum_{i=0}^n{} \displaystyle\binom{n}{i} \) = \( 2^n \)
Entonces, lo quise probar para n+1 y me sucedió lo siguiente:
\( \sum_{i=0}^{n+1}{} \displaystyle\binom{n+1}{i} = 2^{n+1} \)
Como \( \displaystyle\binom{n+1}{n+1} \) es 1, lo saque para afuera de la combinatoria, me quedo 1 + \( \sum_{i=0}^{n}{} \displaystyle\binom{n+1}{i} \), que esto es 1 + \( \sum_{i=0}^n{} \frac{(n+1)!}{i! \cdot (n+1-i)!} \)
Lo que hice fue:
1 + \( \sum_{i=0}^n{} \frac{(n)!}{i! \cdot (n-i)!} \cdot \frac{(n+1)}{ \cdot (n+1-i)} \)
y esto es:
1 + \( \sum_{i=0}^n{} \displaystyle\binom{n}{i} \cdot \frac{(n+1)}{ (n+1-i)} \)
Por aca me tranque, asi que probé por el lado del 2:
\( \sum_{i=0}^{n+1}{} \displaystyle\binom{n+1}{i} = 2^{n+1} \)
\( \sum_{i=0}^{n+1}{} \displaystyle\binom{n+1}{i} = 2^{n} * 2 \)
\( \sum_{i=0}^{n+1}{} \displaystyle\binom{n+1}{i} = 2 * \sum_{i=0}^n{} \displaystyle\binom{n}{i} \)
Y sigo trancado, estara mal la afirmacion, me faltaran ver cosas?
