CONJETURA DE COLLATZ
Sea \( f(n) = \begin{cases} n/2 \text{ si n par} \\ {(3\cdot{n+1})/2}\text{ si n impar} \end{cases} \)
Entonces, \( \forall{n}\in \mathbb{N}\text{, }\exists{j } \) finito\( / \underbrace{f(f(f(f(...(f}_j (n))...) = f\left\{{j}\right\}(n)=1 \)
FALSACIÓN
Procedemos por inducción sobre n:
\( N = 1, f(1) = (3+1)/2 = 2 \text{ , } f\left\{{2}\right\}(1)=1 \)
\( N = 2, f(2) = 1 \)
\( N = 3, f(3) = (9+1)/2 = 5\text{ , } f\left\{{2}\right\}(3)=(3\cdot{5+1)/2=8})\text{ , } f\left\{{3}\right\}(3)=4 \text{ , } f\left\{{4}\right\}(3)=2 \), y para 2 ya está visto
\( N = 4, f(4) = 2 \), y para 2 ya está visto.
\( N = 5, f(5) = (15+1)/2 = 8 \text{ , } f\left\{{2}\right\}(5)=4 \) y para 4 ya está visto.
\( N = 6, f(6) = 3 \), y para 3 ya está visto.
\( N = 7, f(7) = (21+1)/2 = 11\text{ , }f\left\{{2}\right\}(7)=11\text{ , }f\left\{{3}\right\}(7)=17\text{ , }f\left\{{4}\right\}(7)=26\text{ , } \)
\( f\left\{{5}\right\}(7)=13\text{ , }f\left\{{6}\right\}(7)=20\text{ , }f\left\{{6}\right\}(7)=10\text{ , }f\left\{{7}\right\}(7)=5 \), y para 5 ya está visto.
\( N = 8, f(8) = 4 \), y para 4 ya está visto.
\( N = 9, f(9) = (27+1)/2 = 14\text{ , } f\left\{{2}\right\}(9)=7) \), y para 7 ya está visto.
\( N = 10, f(10) =5 \), y para 5 ya está visto.
\( N = 11, f(11) = (33+1)/2 = 17\text{ , } f\left\{{2}\right\}(11)=(51+1)/2=26)\text{ , } f\left\{{3}\right\}(11)=13 \text{ , } \)
\( f\left\{{4}\right\}(11)=(39+1)/2=20\text{ , } f\left\{{5}\right\}(11)=10 \), y para 10 ya está visto.
\( N = 12, f(12) = 6 \), y para 6 ya está visto.
\( N = 13, f(13) = (39+1)/2 = 20\text{ , } f\left\{{2}\right\}(13)=10 \), y para 10 ya está visto.
\( N = 14, f(14) = 7 \), y para 7 ya está visto.
Supongamos que está demostrado \( \forall{n < N}\text{ ,} (N>14) \)
- \( N = 2k \) (N par) \( \Rightarrow{}f(N)= k \). Como \( k \)<N, P.H.I, \( \exists{j \text { finito}/f\left\{{j}\right\}(N)=1} \)
- \( N = 2k+1, (k=(N-1)/2) \) (N impar) \( \Rightarrow{}f(N)= k \)
\( \boxed{1} \) Si \( k = 2l (l=\displaystyle\frac{k}{2})\Rightarrow{} \)\( f\left\{{2}\right\}(N)= f(3k+2) =(f(6l+2), par)= \)
\( \displaystyle\frac{(3k+2)}{2}=\displaystyle\frac{3}{4}N+\displaystyle\frac{1}{2} <N \), entonces, P.H.I., \( \exists{j \text{ finito}/f\left\{{j}\right\}(N)=1} \)
\( \boxed{2} \) Si \( k = 2l+1 (l=\displaystyle\frac{k-1}{2})\Rightarrow{} \)\( f\left\{{2}\right\}(N)= f(3k+2) =(f(6l+5), impar)= \)
\( =\displaystyle\frac{3\cdot{(3k+2)+1}}{2} = (\displaystyle\frac{18l+16}{2}=9l+8= \displaystyle\frac{3(6l+5)+1}{2})=\displaystyle\frac{9k+7}{2}= \)
\( =\displaystyle\frac{9(\displaystyle\frac{N-1}{2})+7}{2}=\displaystyle\frac{9N-9+14}{4}=\displaystyle\frac{9}{4}N+\displaystyle\frac{5}{4}>N \)
\( f\left\{{3}\right\}(N)= f(\displaystyle\frac{9}{4}N+\displaystyle\frac{5}{4})=f(9l+8) \)
...
Tengo el resto en papel, pero voy un poco lento transcribiendo. Si no muero esta noche, mañana sigo...
...
Spoiler
En el caso impar, impar, par, impar, impar, llegaremos a una contradicción con la hipótesis de inducción, por lo que no existirá ese j “finito” tal que f{j}(n)=1 para j finito y para todo n perteneciente a N.
NOTA: He ampliado el número de casos base porque he encontrado algunos errores que con esto quedarían solventados.
