[Proyecto_dos]

Hola:


Axioma de extensionalidad

Existe un único conjunto con los mismos elementos

Axioma de especificación

Dada una propiedad P, existe un subconjunto cuyos elementos cumplen P

Axioma del par

Dados 2 conjuntos existe un tercero cuyos elementos son exactamente esos 2

Axioma de la unión

Existe un conjunto cuyos elementos son los que pertenecen exactamente a alguno de los elementos de otro conjunto

Axioma de partes

Existe un conjunto cuyos elementos son exactamente todos los subconjuntos de otro conjunto

Axioma de infinitud

Existe un conjunto numerable infinito

Axioma del reemplazo

Dada una fórmula  \( \phi(X,Y) \) ,  tal vez con más variables libres, que define una función sobre un subconjunto; existe otro conjunto que contiene a todas las imágenes por esa función de ese subconjunto

Axioma de elección

Existen todos los posibles subconjuntos de un conjunto


¿Puede entenderse de esta forma?  (Todo está inspirado -a veces literalmente copiado- de textos sobre la cuestión de Carlos Ivorra)


Un saludo,

[Carlos Ivorra]

Algunas observaciones:

El axioma de extensionalidad no es un axioma de existencia. Sólo dice que si dos conjuntos tienen los mismos elementos son iguales, pero no afirma la existencia de ningún conjunto.

El axioma de infinitud afirma la existencia de un conjunto infinito. No dice nada sobre que sea o no numerable, aunque la existencia de conjuntos no numerables no puede probarse sin el axioma de partes.

En cuanto a tu formulación del axioma de elección, no creo que éste sea reconocible en ella.

El resto me parece correcto.

[Proyecto_dos]

Hola,


Ok, el axioma de extensionalidad no afirma la existencia de ningún conjunto; es cierto. En cierto modo establece una condición previa a la existencia / no existencia: No pueden existir 2 conjuntos iguales. Sigo pensando que es el axioma más definitorio de la Teoría; el de mayor alcance.

Respecto del axioma de infinitud: Si escojo una versión fuerte del Axioma que diga que existe un conjunto X con una aplicación  \( S\,:\,X\rightarrow{X} \)  inyectiva y no suprayectiva; entonces -si no lo he entendido mal-, no puede cumplirse cuando  \( X\in{\mathbb{R}} \) .  ¿Qué valor concreto habría que darle a  \( S(\pi) \) ,  por ejemplo ?  (Al sucesor de  \( \pi \)). Si la imagen no podemos saber cuál es ¿cómo puedo saber que pertenece a  \( \mathbb{R} \) ?  Pienso que una aplicación como ésta sólo puede definir conjuntos infinitos numerables.

Del axioma de elección pues es cierto que hago una abstracción pero en realidad no dice "menos" que el propio Axioma. Aunque quizás la haya formulado mal. Debería decir que existen todos los posibles elementos de los elementos de un conjunto. ¿Qué sentido tiene si no escogerlos como imágenes de una "posible" aplicación que puedo establecer sobre ellos? El sentido, entiendo yo, es decir que ésas imágenes por causa de esa función existen y que pertenecen al propio conjunto ¿no?


Un saludo,

[Carlos Ivorra]

Respecto del axioma de infinitud: Si escojo una versión fuerte del Axioma que diga que existe un conjunto X con una aplicación  \( S\,:\,X\rightarrow{X} \)  inyectiva y no suprayectiva; entonces -si no lo he entendido mal-, no puede cumplirse cuando  \( X\in{\mathbb{R}} \) .  ¿Qué valor concreto habría que darle a  \( S(\pi) \) ,  por ejemplo ?  (Al sucesor de  \( \pi \)). Si la imagen no podemos saber cuál es ¿cómo puedo saber que pertenece a  \( \mathbb{R} \) ?  Pienso que una aplicación como ésta sólo puede definir conjuntos infinitos numerables.

Sí que existen aplicaciones \( f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R \) inyectivas y no suprayectivas. Por ejemplo,

\( S(x)=\begin{cases} x & \text{si}& x\notin \mathbb N\\ x+1 & \text{si}& x\in \mathbb N\end{cases} \)

Esta aplicación es inyectiva y no es suprayectiva porque \( 0 \) no tiene antiimagen. Y \( S(\pi)=\pi \). Con el axioma de elección puede probarse que existen aplicaciones inyectivas y no suprayectivas en todos los conjuntos infinitos. Sin el axioma de elección puede probarse que existen en todos los conjuntos que contienen un subconjunto numerable (pero sin necesidad de ser numerables).

Debería decir que existen todos los posibles elementos de los elementos de un conjunto.

Yo no sabría atribuir un significado preciso a esa afirmación.

¿Qué sentido tiene si no escogerlos como imágenes de una "posible" aplicación que puedo establecer sobre ellos? El sentido, entiendo yo, es decir que ésas imágenes por causa de esa función existen y que pertenecen al propio conjunto ¿no?

Un conjunto tiene los elementos que tiene, y no tiene sentido discutir si existen o no. No existen conjuntos con elementos inexistentes. El axioma de elección es ciertamente un axioma de existencia, pero lo que afirma es que existen funciones de elección. Lo que se pone en cuestión y el axioma dilucida no es la existencia de los elementos de un conjunto (insisto en que no creo que eso signifique nada). Por ejemplo, imagina que tenemos una sucesión de conjuntos \( \{X_n\}_{n=0}^\infty \), y que sabemos que cada \( X_n \) consta de dos elementos distintos (existentes, por supuesto), aun sabiendo todo esto, sin el axioma de elección no podemos demostrar que existe una función \( f:\mathbb N\longrightarrow \bigcup\limits_{n=0}^\infty X_n \) que cumpla \( f(n)\in X_n \). Nadie cuestiona que cada \( X_n \) tiene dos elementos, el problema es si existe una función \( f \) que elige uno de ellos para cada \( n \), y es la existencia de tal \( f \) lo que exige el axioma de elección.

[Proyecto_dos]

Hola,


Ok, entiendo los matices que hay respecto del Axioma de infinitud. Estrictamente hablando (bastante estrictamente) se trataría de un conjunto no finito (¡Y todo porque es una aplicación inyectiva-no-sobreyectiva! jaja). Gracias por la respuesta, cuesta trabajo pero se gana en conocimiento.

Respecto del axioma de elección he entendido que el problema no era la existencia de los elementos, ahora me queda claro; si tiene 2 tiene 2 y si tiene infinitos existen los infinitos. Entiendo también por tanto que lo que afirma es solamente la existencia de la función F, no de f(x). Pero tengo que darle un par de vueltas más. Supongo que sirve para que en un conjunto no numerable yo pueda escoger un elemento aunque no sepa cuál es. O sea algo así como si yo metiera la mano en un bombo de la lotería de Navidad y saco una bolita que no sé qué número tendrá y además no me interesa ¿no?


Un saludo,

[Carlos Ivorra]

Respecto del axioma de elección he entendido que el problema no era la existencia de los elementos, ahora me queda claro; si tiene 2 tiene 2 y si tiene infinitos existen los infinitos. Entiendo también por tanto que lo que afirma es solamente la existencia de la función F, no de f(x). Pero tengo que darle un par de vueltas más. Supongo que sirve para que en un conjunto no numerable yo pueda escoger un elemento aunque no sepa cuál es. O sea algo así como si yo metiera la mano en un bombo de la lotería de Navidad y saco una bolita que no sé qué número tendrá y además no me interesa ¿no?

Eso ya está mucho mejor, pero conviene señalar que el problema no está en la no numerabilidad. En el ejemplo que te he puesto antes, tienes un conjunto numerable de conjuntos de dos elementos: \( A=\{P_n\mid n\in \mathbb N\} \). El conjunto \( A \) es numerable y sus elementos son conjuntos finitos. No hay nada no numerable aquí y, pese a ello, sin el axioma de elección no puedes demostrar que exista una función que asigne a cada conjunto de \( A \) uno de sus dos elementos.

Dices bien cuando interpretas el axioma de elección como una forma de asegurar la existencia de una función en ausencia de criterio alguno que te permita definirla mediante el axioma de especificación. Por ejemplo, en el caso que te planteo, la función \( f \) cuya existencia postula el axioma de elección es un subconjunto de \( B=\bigcup\limits_{n=0}^\infty\{n\}\times P_n \), pues cada elemento de \( f \) es un par ordenado \( (n,a) \), con \( a\in P_n \), luego \( (n,a)\in \{n\}\times P_n\subset B \), luego \( f\subset B \), pero no tienes ningún criterio para definir \( f=\{(n,a)\in B\mid ?? ?? ??\} \). Por eso necesitas el axioma de elección.

[Proyecto_dos]

Hola,


¡Magnífica explicación Carlos! Efectivamente la numerabilidad no tiene nada que ver aquí. Entonces, ¿podría decir algo como lo que sigue?:


Axioma de elección

Existe una función que relaciona todo conjunto con uno de los elementos de sus elementos


Un saludo,

[Carlos Ivorra]

Entonces, ¿podría decir algo como lo que sigue?:


Axioma de elección

Existe una función que relaciona todo conjunto con uno de los elementos de sus elementos

No creo que nadie que lea eso pueda entender qué dice el axioma de elección. Para cada conjunto \( x \), existe una función \( f \) que asigna a cada elemento \( u \) no vacío de \( x \) un elemento de \( u \).

Fíjate que cuando dices "todo conjunto" entiendo que te refieres a \( x \), pero \( f \) no le asigna uno de los elementos de sus elementos, sino que a cada elemento de \( x \) le asigna uno de sus elementos (si no es vacío). No es lo mismo.

[Proyecto_dos]

Hola, sí está mal


Sería algo como:


Existe una función que relaciona cada elemento de un conjunto con uno de sus elementos

[Carlos Ivorra]

Sería algo como:

Existe una función que relaciona cada elemento de un conjunto con uno de sus elementos

Eso está mejor (salvo el matiz de qué pasa si el elemento en cuestión es el conjunto vacío), pero creo que resulta equívoca tu insistencia en emepezar todas las frases por "existe". No es lo mismo el axioma de infinitud que, en efecto, afirma la existencia de un conjunto, que el axioma de elección, o el de de partes, etc., que, para cada conjunto, afirman la existencia de otro conjunto.