Autor Tema: Inscribir un triángulo equilátero

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

21 Noviembre, 2016, 05:20 pm
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Michel

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En un triángulo equilátero ABC, inscribir un triángulo equilátero DEF, con DE perpendicular a BC.
Hallar la relación entre las áreas de los triángulos DEF y ABC.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

21 Noviembre, 2016, 08:21 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola , no se si en geometría sintética se puede sumar series , lo dejo por si es válida:

Spoiler
Dividiendo el triángulo inicial en suma de triángulos semejantes al inscrito y sumando todas las áreas llego al la suma infinita:

\( A_G=A_p +\displaystyle\frac{3}{2}A_p +\displaystyle\frac{3}{2}A_p\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{}\displaystyle\frac{1}{2^{2i}}=3A_p  \) la razón pedida es que el área del triángulo inscrito es 3 veces menor

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Saludos.

P.D.: tengo problemas con los programas de dibujo , en especial también con geogebra, en cuanto lo solucione pondre una figura que justifique mi solución.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

21 Noviembre, 2016, 10:22 pm
Respuesta #2

Michel

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Hola.

Creo que no.

Saludos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

27 Noviembre, 2016, 07:08 pm
Respuesta #3

EnRlquE

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Hola.

 Anoto mi solución bajo el siguiente spoiler

Spoiler
En la siguiente figura tenemos que los triángulos \( EFC \) y \( DEB \) son congruentes


Luego si llamamos \( a=FC \) tendremos que \( BE=a, \) \( CE=2a \) y \( EF=a\sqrt{3}. \) De modo que la relación entre los lados de los triángulos equiláteros es \( \frac{EF}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{3a}=1/\sqrt{3}. \) Esto implica que la relación de áreas es un tercio.
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Saludos,

Enrique.

28 Noviembre, 2016, 10:01 am
Respuesta #4

Michel

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Hola enrique.

Creo que, en primer lugar, se trata de un problema de construcción: inscribir un triángulo equilátero en otro.

Saludos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

29 Noviembre, 2016, 10:56 pm
Respuesta #5

EnRlquE

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Creo que, en primer lugar, se trata de un problema de construcción: inscribir un triángulo equilátero en otro.

 Es verdad ¡qué despistado!. Para hacer la construcción del triángulo \( DEF, \) motivamos por el dibujo de mi anterior respuesta, podemos seguir los siguientes pasos


1. En el lado \( \overline{BC} \) ubicamos \( E \) de modo que \( 2BE=EC. \) Esto se puede hacer siguiendo la construcción "División de un segmento AB en partes iguales" de este hilo.

2. Repetimos lo mismo en los lados \( \overline{CA} \) y \( \overline{AB} \) de modo que ubicamos \( F\in\overline{CA} \) y \( D\in\overline{AB} \) verificando las igualdades \( 2CF=FA \) y \( 2AD=DB. \)

3. Finalmente trazamos el triángulo \( DEF. \)

Saludos,

Enrique.