Autor Tema: Función integrable y medida producto.

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12 Noviembre, 2016, 06:17 am
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mapa

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¡Hola!
Espero que me puedan ayudar con lo siguiente por favor, tengo el enunciado:
Sean \( (X,F, \mu) \) y \( (Y,G,\nu) \) dos espacios de medida y sean, f integrable en \( (X,F, \mu) \) y g integrable en \( (Y,G,\nu) \).  Si \( h(x,y)=f(x)g(x) \) y \( \pi=\mu \times \nu \). Me piden demostrar que h es \( \pi-integrable \) en \( Z:=X \times Y \) y además \( \displaystyle\int_{Z}^{}h d \pi=(\displaystyle\int_{X}^{}f d \mu) (\displaystyle\int_{Y}^{}g d \nu) \) (En caso de que sea necesario debo agregar alguna(s) hipótesis  para que se cumpla lo que mencioné antes).


12 Noviembre, 2016, 11:54 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

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Espero que me puedan ayudar con lo siguiente por favor, tengo el enunciado:
Sean \( (X,F, \mu) \) y \( (Y,G,\nu) \) dos espacios de medida y sean, f integrable en \( (X,F, \mu) \) y g integrable en \( (Y,G,\nu) \).  Si \( h(x,y)=f(x)g(x) \) y \( \pi=\mu \times \nu \). Me piden demostrar que h es \( \pi-integrable \) en \( Z:=X \times Y \) y además \( \displaystyle\int_{Z}^{}h d \pi=(\displaystyle\int_{X}^{}f d \mu) (\displaystyle\int_{Y}^{}g d \nu) \) (En caso de que sea necesario debo agregar alguna(s) hipótesis  para que se cumpla lo que mencioné antes).

¿Qué has intentado? Ahora no tengo tiempo de detallar las cosas. Pero me parece que debería de salir, sin más que ir aplicando las definiciones y algún resultado que ya tengas probado que te "acelere" la prueba.

Te sería útil tener en cuenta que el producto de funciones simples es una función simple y los teoremas de convergencia monótona y/o dominada.

Saludos.

14 Noviembre, 2016, 09:33 pm
Respuesta #2

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me parece que debería de salir, sin más que ir aplicando las definiciones y algún resultado que ya tengas probado que te "acelere" la prueba.

Te sería útil tener en cuenta que el producto de funciones simples es una función simple y los teoremas de convergencia monótona y/o dominada.

Disculpa; pero no logro identificar resultado alguno que "acelere" la prueba y de hecho no escribí avances por la misma razón. Sinceramente,  aunque las indicaciones que me das son precisas; aún no logro "aterrizarlo en papel".  :-[

15 Noviembre, 2016, 10:07 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Por ejemplo:

 - Por ser \( f=f^+-f^- \) y \( g=g^+-g^- \) integrables sus partes positivas y negativas son integrables (con integral finita).

 - Se tiene que \( h=fg=\underbrace{(f^+g^++f^-g^-)}_{h^+}-\underbrace{(f^+g^-+f^-g^+)}_{h^-} \) y entonces si suponemos el resultado probado para funciones no negativas:

\(  \displaystyle\int_{Z}h= \displaystyle\int_{Z}h^+-\displaystyle\int_{Z}h^-=\displaystyle\int_{Z}(f^+g^++f^-g^-)-\displaystyle\int_{Z}(f^+g^-+f^-g^+)= \displaystyle\int_{Z}f^+g^++\displaystyle\int_{Z}f^-g^--\displaystyle\int_{Z}f^+g^--\displaystyle\int_{Z}f^-g^+=\\
=\displaystyle\int_{X}f^+\displaystyle\int_{Y}g^++\displaystyle\int_{X}f^-\displaystyle\int_{Y}g^--\displaystyle\int_{X}f^+\displaystyle\int_{Y}g^--\displaystyle\int_{X}f^-\displaystyle\int_{Y}g^+=
\displaystyle\int_{X}(f^+-f^-)\displaystyle\int_{Y}(g^+-g^-)=\displaystyle\int_{X}f\displaystyle\int_{Y}g \)

 - Por tanto basta probar el resultado para funciones no negativas.

 - Comprueba que \( h(x,y)=f(x)g(y) \) es medible. Para ello ten en cuenta que la función \( h_1(x,y)=f(x) \) es medible ya que \( h^{-1}(U)=f^{-1}(U)\times Y \); análogamente \( h_2(x,y)=g(y) \) es medible. Y el producto de medibles es medible.

 - Por ser \( f,g \) integrables no negativas se aproximan por sucesiones crecientes de funciones simples no ntegativas \( f_n,g_n \), de forma que:

\(  \displaystyle\int_{X}f=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{} \displaystyle\int_{X}f_n \)
\(  \displaystyle\int_{X}g=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{} \displaystyle\int_{X}g_n \)

- Entonces \( h_n(x,y)=f_n(x)\cdot g_n(y) \) es una sucesión monótona de funciones simples que converge a \( h(x,y). \)

- Por el teorema del convergencia monótona:

\(  \displaystyle\int_{Z}h=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{} \displaystyle\int_{Z}h_n(x,y) \)

- Por tanto el problema se reduce a probar el resultado para funciones simples, lo cuál es inmediato teniendo en cuenta que en la medida producto, la medida de un producto de conjuntos es el producto de las medidas.

 Completa los detalles...

Saludos.

16 Noviembre, 2016, 05:23 am
Respuesta #4

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